Zustandsdichte für einen einfachen harmonischen 3D-Oszillator

Ich habe die thermische Zustandsverteilungsfunktion und die Zustandsdichte für den einfachen harmonischen 3D-Oszillator, die unten angegeben sind

Z ( β ) = 1 ( 2 Sünde ⁡ ( β ω 2 ) ) 3
Und
ρ ( E ) = ( E ω − 1 2 ) ( E ω + 1 2 ) 2 ω
Wo β ist die inverse Temperatur und ω ist die Eigenfrequenz des SHO.

Nun kann die Zustandssumme auch als folgendes Integral geschrieben werden

Z ( β ) = ∫ 0 ∞ D E ρ ( E ) e − β E
Dies ist eine Laplace-Transformation, daher können wir die Asymptotik der Zustandsdichte berechnen, indem wir diese Laplace-Transformation umkehren. Die inverse Laplace-Transformation kann unter Verwendung des Bromwich-Konturintegrals durchgeführt werden, das ist
ρ ( E ) = 1 2 π ich ∫ γ − ich ∞ γ + ich ∞ D β Z ( β ) e β E
Wo γ größer ist als der Realteil aller Singularitäten von Z ( β ) . Jetzt habe ich versucht, dieses Integral mit dem Residuensatz zu berechnen, indem ich die Kontur auf der linken Hälfte der komplexen Ebene geschlossen habe. Aber irgendwie erhalte ich die richtige Zustandsdichte, indem ich den Rest von nur einem Pol verwende, während es aufgrund der Periodizität der hyperbolischen Sinusfunktion (auf der imaginären Achse) eine unendliche Anzahl von Polen auf der imaginären Achse gibt.

Kann mir jemand erklären, wo ich in diesem Prozess falsch liege?

PS Das wissen wir auch N = E ω − 3 2 ist eine positive ganze Zahl.

Wie ich in meiner Antwort erwähnt habe, ist Ihr erster Ausdruck für ρ ( E ) ist nicht die Zustandsdichte für dieses System, es ist nur eine allgemein gültige (glatte) Annäherung E . Die Links in meiner Antwort erklären, woher diese Art von Annäherung kommt. Auch bei der Diskussion eines Integrals über Energie E , ist es nicht möglich zu sagen (wie Sie es in Ihrem "PS" tun), dass es nur diskrete Werte annimmt, es sei denn, Sie schreiben es in Form von Dirac-Delta-Funktionen oder ähnlichem.

Antworten (1)

Ich bin keineswegs ein Experte auf diesem Gebiet, aber es schien eine interessante Frage zu sein, also habe ich mich ein wenig umgesehen. Da sonst niemand geantwortet hat, hier gehts.

Dieser Ansatz reicht weit zurück und hat eine große Relevanz für molekulare Systeme mit viel allgemeineren Quantenzuständen (Kombinationen anharmonischer Schwingungen, Rotationsniveaus usw.) und Anwendungen in der Theorie unimolekularer Reaktionen. Ich glaube, dass die erste Veröffentlichung, die sich mit Ihrem spezifischen System von mehreren harmonischen Oszillatoren befasst, von E. Thiele, J. Chem. Phys, 39, 3258 (1963) stammt . Es löst das Problem genau so, wie du es beschreibst. Das relevante Zitat aus diesem Papier, das Ihre Frage beantwortet, ist

Auch hier wieder die Singularitäten in Φ / β sind alle Pole auf der imaginären Achse. Aufgrund der Laufzeit e β ϵ im Integranden tragen die Reste an allen Polen mit Ausnahme des Pols am Ursprung oszillierende Terme zum Ausdruck für bei W ( ϵ ) . Wir können daher vernünftigerweise erwarten, eine gute glatte Annäherung an zu finden W ( ϵ ) indem nur der Beitrag des Restes at betrachtet wird β = 0 .

(Offensichtlich ist Ihr Ausdruck für die Zustandsdichte nur eine asymptotische glatte Annäherung, die vermutlich bei hoher Energie gültig ist, da das tatsächliche Energiespektrum eines endlichen Systems von Quantenoszillatoren diskret ist. Das ist also vermutlich das, wonach Sie suchen).

Es gibt viel Literatur zu dieser Art von Dingen, einschließlich einer alten Übersicht von Wendell Forst Chemical Reviews, 71, 339 (1971) , und Artikel, die diese Übersicht zitieren, die Sie möglicherweise online einsehen können (leider habe ich keine offenen gefunden Zugangsversionen dieser Dokumente).

Ich hoffe, das ist hilfreich: Ich bezweifle, dass ich mehr sagen kann, da ich, wie gesagt, kein wirklicher Experte bin. Vielleicht geben andere mehr Details, wenn Sie es brauchen.

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