Singulett- und Triplett-Zustände: Warum ist der S=0S=0S=0-Zustand so definiert, wie er ist?

Ich arbeite an einer Übung zur Spinkopplung zweier Elektronen. Dort haben wir die den S-Werten entsprechenden Wellenfunktionen als

S = 1 : ↑↑ 1 2 ( ↑↓ + ↓↑ ) ↓↓ S = 0 :   1 2 ( ↑↓ − ↓↑ )

Ich verstehe, dass die drei Wellenfunktionen für S = 1 sind symmetrisch und die eine für S = 0 ist antisymmetrisch. Meine Frage ist, warum ist die Kombination mit dem Minuszeichen das Richtige für S = 0 ?

Meine Überlegung ist, dass in a ↑↓ oder ↓↑ Kombination die S z Komponenten würden sich schon summieren 0 das Minuszeichen würde also nichts daran ändern S = 0 .

Oder ist es das ↓↑ oder ↑↓ repräsentieren jeweils einen Zustand mit S = 1 und S z = 0 so dass das Subtrahieren des einen vom anderen ergibt S = 1 − 1 = 0 ?

Nur um darauf hinzuweisen, dass Sie keine Gesamtdrehungen wie subtrahieren können S = 1 − 1 , S stellt (halbklassisch) die Größe eines Vektors dar und kann nicht einfach so addiert werden.
Ok aber wie erklärt man sich das S = 0 für die antisymmetrische Wellenfunktion und S = 1 für die symmetrische?
Ich habe Ihre Koeffizienten geändert 1 2 ; hoffentlich ist das richtig.

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Sie haben Recht, dass einer der S = 1 Staaten hat einen Drehimpuls von Null entlang der z Achse. Allerdings ist die S = 0 Der Zustand hat in jeder Richtung einen Drehimpuls von Null , was direkt aus dem Minuszeichen folgt.

Um zu sehen, warum, betrachten Sie den Operator für Spin entlang einer allgemeinen Richtung, S n ^ . Da die Spins identisch sind, spielt es also keine Rolle, welcher Spin welcher ist

⟨ ↑↓ | S n ^ | ↑↓ ⟩ = ⟨ ↓↑ | S n ^ | ↓↑ ⟩ = a ( n ^ ) .
Außerdem der Betreiber P dass das Vertauschen der Spins keinen Einfluss hat S n ^ , da
P S n ^ = P ( S n ^ 1 + S n ^ 2 ) = S n ^ 2 + S n ^ 1 = S n ^
was das weiter impliziert
⟨ ↑↓ | S n ^ | ↓↑ ⟩ = ⟨ ↓↑ | S n ^ | ↑↓ ⟩ = a ( n ^ ) .
Das sind alle Informationen, die wir brauchen, um den Spin entlang der auszuwerten n ^ Richtung für die beiden Zustände, die Sie angeben. Für die S = 1 Staat, finden wir
a 2 + a 2 + a 2 + a 2 = 2 a
während für die S = 0 Zustand finden wir
a 2 + a 2 − a 2 − a 2 = 0.
Die Kreuzterme erhalten aufgrund des Minuszeichens in der Überlagerung ein Minuszeichen. Dies zeigt, dass das Singulett in jeder Richtung keinen Spin hat.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, wenn wir sagen S = 1 , 0 wir denken wirklich an die Eigenzustände und Eigenwerte von S 2 = ( S 1 + S 2 ) 2 . Versuchen Sie, diesen Operator anzuwenden, und Sie werden sehen, dass die symmetrischen Zustände einen Eigenwert haben S = 1 , und die Antisymmetrie hat einen Eigenwert S = 0 . Wenn Sie sich einfach bewerben S z , was Sie in Ihrer Fragestellung tun, dann haben definitiv sowohl der gemischte symmetrische als auch der antisymmetrische Zustand einen Eigenwert j = 0 , wie du schon gesagt hast.

Nur eine etwas andere Ansicht mit dem Interchange-Operator P ^ | m 1 m 2 ⟩ = | m 1 m 2 ⟩

Meine Frage ist, warum ist die Kombination mit dem Minuszeichen S = 0?

Eine andere Möglichkeit, dies zu betrachten, ist:

S = 1 : ↑↑ 1 2 ( ↑↓ + ↓↑ ) ↓↓ S = 0 :   1 2 ( ↑↓ − ↓↑ )

Die Triplettzustände werden durch den Austausch von nicht beeinflusst m 1 ⟺ m 2 während die S = 0 ändert das Vorzeichen unter Austausch.

Verwenden P ^ | m 1 m 2 ⟩ = | m 1 m 2 ⟩ als Umsteigebetreiber.

Das führt zu

P ^ (Triplett) = Triplett
Aber
P ^ (Unterhemd) = −    Unterhemd

Meinst du P ^ | m 1 m 2 ⟩ = | m 2 m 1 ⟩ ?
Singulett- und Triplett-Zustände: Warum ist der S=0S=0S=0-Zustand so definiert, wie er ist?
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