Anomaly Cancellation im Standardmodell (Berechnung der symmetrisierten Spur von Generatoren)

Question

Anomaly Cancellation im Standardmodell (Berechnung der symmetrisierten Spur von Generatoren)

Physik
Standardmodell
Quantenanomalien
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen
Repräsentationstheorie

Jonathan Rayner

Das Problem

Wir können zeigen, dass die Bedingung für die Anomaliefreiheit des Standardmodells darin besteht, dass die symmetrisierte Spur über den Generatoren der Eichgruppe verschwindet:

\begin{aligned} tr ({τ^{ich}, τ^{J}} τ^{k}) \overset{!}{=} 0 \end{aligned}

$\begin{align} \text{tr} \big(\{\tau^i , \tau^j \} \tau^k \big) \stackrel{!}{=} 0 \end{align}$

Wie kann ich sehen, dass dies für alle Möglichkeiten im Standardmodell gilt?

Versuch einer Lösung

Eine der Quellen, die ich mir angeschaut habe, sind Adel Bilals Notizen zu Anomalien (verfügbar hier: Lectures on Anomalies ). Hier schreibt er ausdrücklich

Ich sehe, dass die Überladungen auftauchen, aber ich habe im Grunde nicht den Hintergrund, um zu verstehen, warum die Vorfaktoren von 2 usw. in diesen Berechnungen auftauchen. Bilal schreibt auch früher:

Ich bin mir sicher, dass das obige Bild nur meine Frage beantworten sollte, aber trotzdem verstehe ich die Vorfaktoren nicht.

Ich habe ein gewisses Grundverständnis der Darstellungstheorie und einführender QFT, bin aber mit dem Standardmodell nicht wirklich vertraut. Wenn die Antwort also in diesem Sinne gestaltet werden könnte, wäre das hilfreich.

Antworten (1)

Anomaly Cancellation im Standardmodell (Berechnung der symmetrisierten Spur von Generatoren)

Heterotisch · Answer 1

Die Spur eines Operators über alle Zustände/Teilchen zu nehmen bedeutet effektiv, eine Summe über alle Eigenwerte des Operators (die Ladungen) über diese Zustände/Teilchen zu nehmen. Entscheidend ist also, wie viele Staaten Sie haben und mit welchen Gebühren.

Die Zahlen, auf die Sie sich beziehen, sind nur die entsprechenden Vielfachheiten der Zustände. Zum Beispiel bezieht sich der erste Term in der Summe in (7.19) auf die u- und d-Quarks, wie aus dem Faktor (-1/6) der Hyperladung und Tabelle 1 ersichtlich ist, aber wie funktioniert das Zählen?

In diesem Fall ist die Spur über Darstellungen von $SU(3)$ also die $SU(2)$ Ein Teil des Zustands kann aus der Spur genommen werden. Da es 2 verschiedene gibt $SU(2)$ Optionen (u und d) erhalten wir einen Faktor von 2. Schematisch, wenn $green$ , $blue$ Und $red$ bezeichnen die $SU(3)$ Ladungen/Farben, kann man sich vorstellen

u_{G R e e N} + u_{B l u e} + u_{R e D} + D_{G R e e N} + D_{B l u e} + D_{R e D} = 2 (G R e e N + B l u e + R e D)

$u_{green}+u_{blue}+u_{red}+d_{green}+d_{blue}+d_{red}=2(green+blue+red)$ weil das

S U (2)

$SU(2)$ Dabei spielt die Art der Partikel keine Rolle. Und die rechte Seite oben ist das Analogon von

2 \times tr t_{α}^{3} t_{β}^{3}

$2\times\text{tr}\ t_\alpha^3 t_\beta^3$ .

Die anderen beiden Terme in (7.19) sind Singuletts unter $SU(2)$ sie erhalten also eine Vielfachheit von 1. Wie sieht es mit dem zweiten Term in (7.20) aus? Aus der Hyperladung sehen wir, dass sich dies wieder auf Zeile 3 der Tabelle bezieht, aber diesmal ist die Spur beendet $SU(2)$ . Dies bedeutet, dass es unter dem blind ist $SU(3)$ Ladungen und da es 3 davon gibt (wir erhalten dies aus der ersten Spalte, die Ladungen sind so viele wie die Dimension der Darstellung), erhalten wir einen Vorfaktor von 3. Schematisch:

u_{G R e e N} + u_{B l u e} + u_{R e D} + D_{G R e e N} + D_{B l u e} + D_{R e D} = 3 (u + D)

$u_{green}+u_{blue}+u_{red}+d_{green}+d_{blue}+d_{red}=3(u+d)$ denn diesmal die

S U (3)

$SU(3)$ Ladung kann aus der Spur entnommen werden.

Ich hoffe, das reicht aus, um auch zu erklären, was mit (7.21) und (7.22) passiert.

Das ist nicht ganz die Antwort, nach der ich gesucht habe, obwohl es mir definitiv geholfen hat, zur Antwort zu kommen, danke! Ich glaube, ich habe zu wenig betont, wonach ich gesucht habe. Meine Antwort: Ein Generator der SM-Eichgruppe in der Rep, der auf Fermionen einwirkt, kann (für eine einzelne Generation) als Generator für die direkte Summe von Tensorproduktrepräsentanten geschrieben werden, ein Produktrepräsentant für jede Zeile in der obigen Tabelle, 5 direkt Summen für den Partikelgehalt. Die symmetrisierte Spur dieses Generators ist Null. Ich denke, das entspricht dem, was Sie gesagt haben. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, und wenn jemand möchte, dass ich es aufschreibe, werde ich es tun.

Anomaly Cancellation im Standardmodell (Berechnung der symmetrisierten Spur von Generatoren)

Jonathan Rayner

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Heterotisch

Jonathan Rayner

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