Ableitung der Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld

Abstrakt

Im Folgenden werden wir beweisen, dass es eine kompatible Lagrange-Dichte für das elektromagnetische Feld im leeren Raum gibt

$$\begin{equation} \mathcal{L}_{em}\:=\:\epsilon_{0}\cdot\dfrac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \tag{045} \end{equation}$$ das heißt, die Euler-Langrange-Gleichungen, die aus dieser Lagrange-Funktion hervorgehen, sind die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld.

Diese Lagrange-Dichte wird durch ein Trial-and-Error- Verfahren ⁽¹⁾ abgeleitet , nicht durch Raten.

1. Einleitung

Die Maxwellschen Differentialgleichungen des elektromagnetischen Feldes im leeren Raum sind

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} & = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{001a}\\ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} & = \mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \tag{001b}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} & = \frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{001c}\\ \nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}& = 0 \tag{001d} \end{align}$$ Wo $\: \mathbf{E} =$elektrischer Feldstärkevektor, $\:\mathbf{B}=$magnetischer Flussdichtevektor, $\:\rho=$elektrische Ladungsdichte, $\:\mathbf{j} =$elektrischer Stromdichtevektor. Alle Größen sind Funktionen der drei Raumkoordinaten $\:\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \equiv \left( x,y,z\right)\:$und Zeit $\:t \equiv x_{4}\:$.

Aus Gleichung (001d) der Magnetflussvektor$\:\mathbf{B}\:$kann als Kräuselung eines Vektorpotentials ausgedrückt werden$\:\mathbf{A}\:$

$$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A} \tag{002} \end{equation}$$ und aus (002) ergibt Gleichung (001a). $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\left(\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) =\boldsymbol{0} \tag{003} \end{equation}$$ daher kann der Klammerterm als Gradient einer Skalarfunktion ausgedrückt werden $$\begin{equation*} \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} =-\boldsymbol{\nabla}\phi \end{equation*}$$ das ist $$\begin{equation} \mathbf{E} =-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \tag{004} \end{equation}$$ Also die sechs skalaren Variablen, die Komponenten von Vektoren $\:\mathbf{E}\:$Und $\:\mathbf{B}\:$, können als Funktionen von 4 Skalarvariablen, dem Skalarpotential, ausgedrückt werden $\:\phi\:$und drei Komponenten des Vektorpotentials $\:\mathbf{A}$.

Einfügen der Ausdrücke von$\:\mathbf{E}\:$Und$\:\mathbf{B}\:$, Gleichungen (002) bzw. (004), in den Gleichungen (001b) und (001c) haben wir

$$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\mu_{0}\mathbf{j}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}\left(-\boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right) \tag{005} \end{equation}$$
Und $$\begin{equation} \boxed{\: -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \:} \tag{006} \end{equation}$$ Angesichts dessen $$\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right) =\boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right)- \nabla^{2}\mathbf{A} \tag{007} \end{equation}$$ Gleichung (005) ergibt $$\begin{equation} \boxed{\: \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{A}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\mathbf{A}+ \boldsymbol{\nabla}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) =\mu_{0}\mathbf{j} \:} \tag{008} \end{equation}$$

2. Die Euler-Lagrange-Gleichungen des EM-Felds

Unsere Hauptaufgabe besteht nun darin, eine Lagrange-Dichte zu finden$\:\mathcal{L}\:$, Funktion der vier ''Feldkoordinaten'' und ihrer Ableitungen 1. Ordnung

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}\left(\eta_{\jmath}, \overset{\centerdot}{\eta}_{\jmath}, \boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right) \qquad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{009} \end{equation}$$ so dass die vier skalaren elektromagnetischen Feldgleichungen (006) und (008) aus den Lagrange-Gleichungen abgeleitet werden $$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\dfrac{\partial \eta_{\jmath}}{\partial t}\right)}\right]+\sum_{k=1}^{k=3}\frac{\partial }{\partial x_{k}}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\dfrac{\partial \eta_{\jmath}}{\partial x_{k}}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0\:, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \tag{010} \end{equation}$$ vereinfacht in der Notation zu $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\eta}_{\jmath}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot}\left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\eta_{\jmath}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_{\jmath}}=0, \quad \left(\jmath=1,2,3,4\right) \:} \tag{011} \end{equation}$$

Hier die Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}\:$ist eine Funktion von

1. die vier ''Feldkoordinaten''

$$\begin{align} \eta_{1}&=\mathrm{A}_1\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.1}\\ \eta_{2}&=\mathrm{A}_2\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.2}\\ \eta_{3}&=\mathrm{A}_3\left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.3}\\ \eta_{4}&=\:\;\phi \left( x_{1},x_{2},x_{3},t\right) \tag{012.4} \end{align}$$

2. ihre zeitlichen Ableitungen

$$\begin{align} \overset{\centerdot}{\eta}_{1} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{1}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{1}}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{1} \tag{013.1}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{2} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{2}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{2}}{\partial t}\equiv \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{2} \tag{013.2}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{3} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{3}}{\partial t} =\dfrac{\partial \mathrm{A}_{3}}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{3} \tag{013.3}\\ \overset{\centerdot}{\eta}_{4} & \equiv \dfrac{\partial \eta_{4}}{\partial t} =\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\equiv\overset{\centerdot}{\phi} \tag{013.4} \end{align}$$

Und

3. ihre Steigungen

$$\begin{equation} \begin{array}{cccc} \boldsymbol{\nabla}\eta_{1}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_1 \:,\: & \boldsymbol{\nabla}\eta_{2}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{2} \:,\: \boldsymbol{\nabla}\eta_{3}=\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_3 \:,\: & \boldsymbol{\nabla}\eta_{4}=\boldsymbol{\nabla}\phi \end{array} \tag{014} \end{equation}$$

Wir drücken die Gleichungen (006) und (008) in Formen aus, die den Lagrange-Gleichungen (011) ähnlich sind.

$$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left(\boldsymbol{\nabla}\phi \right) -\left(-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\right) =0 \:} \tag{015} \end{equation}$$ Und $$\begin{equation} \boxed{\: \dfrac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{k}}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\right)+\nabla \boldsymbol{\cdot} \left[c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\right] -\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}}=0 \:} \tag{016} \end{equation}$$ Die Lagrange-Gleichung (011) für $\:\jmath=4\:$, das ist für $\:\eta_{4}=\phi \:$, Ist $$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot} \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=0 \tag{017} \end{equation}$$

Beim Vergleich der Gleichungen (015) und (017) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}=\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\:, \qquad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}=\boldsymbol{\nabla}\phi \:, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{018} \end{equation}$$
so dass die Lagrange-Dichte $\:\mathcal{L}\:$müssen jeweils die Begriffe enthalten $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}\equiv\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}\:, \qquad \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}\:, \qquad \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}\equiv-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{019} \end{equation}$$ und damit ihre Summe $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} +\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{020} \end{equation}$$

Wir nehmen an, dass eine geeignete Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}\:$wäre von der Form

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{021} \end{equation}$$ und da $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}\:$Gleichung (015) erzeugt, erwarten wir $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$, zu bestimmen, wird Gleichungen (016) erzeugen. Diese Erwartung wäre richtig, wenn die Gleichungen (015) und (016) entkoppelt wären, zB wenn die erste enthält $\:\phi$-Begriffe nur und die zweite $\:\mathbf{A}$-Bedingungen nur. Aber hier ist das nicht der Fall: $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}\:$als enthaltend $\:\mathbf{A}$-Terme würden an der Erstellung von Gleichungen (016) und darüber hinaus teilnehmen $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$an der Erzeugung von Gleichung (015) teilnehmen und möglicherweise gegenseitig die Erzeugung der Gleichungen zerstören würden, wie wir es erwartet hatten. Aber hier folgen wir einem Trial-and-Error-Verfahren, das zur richtigen Antwort führt, wie wir im Folgenden sehen werden.

Nun werden die Lagrange-Gleichungen (011) für$\:\jmath=k=1,2,3\:$, das ist für$\:\eta_{k}=\mathrm{A}_{k} \:$, Sind

$$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}}\right) + \nabla \boldsymbol{\cdot} \left[\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}\right]- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathrm{A}_{k}}=0 \tag{022} \end{equation}$$

Beim Vergleich der Gleichungen (016) und (022) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}}= \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\:, \quad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)}=c^{2}\left(\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}- \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right)\:, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathrm{A}}_{k}=\frac{\mathrm{j}_{k}}{\epsilon_{0}} \tag{023} \end{equation}$$

Aus der ersten der Gleichungen (023) die$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$Teil der Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}\:$muss die Bedingungen enthalten

$$\begin{equation} \frac{1}{2}\left\Vert \overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}\right\Vert^{2}+\frac{\partial \phi}{\partial x_{k}}\overset{\centerdot}{\mathrm{A}}_{k}\:, \quad k=1,2,3 \tag{024} \end{equation}$$ und so ihre Summe in Bezug auf $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\equiv \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}} \tag{025} \end{equation}$$

Aus der 2. der Gleichungen (023) die$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$Teil der Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}\:$muss die Bedingungen enthalten

$$\begin{equation} \tfrac{1}{2}c^{2}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k} -\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \:, \quad k=1,2,3 \tag{026} \end{equation}$$ und so ihre Summe in Bezug auf $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \tag{027} \end{equation}$$ Aus der 3. Gleichung (023) die $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$Teil der Lagrange-Dichte $\:\mathcal{L}\:$muss die Bedingungen enthalten $$\begin{equation} \frac{\mathrm{j}_{k}\mathrm{A}_{k}}{\epsilon_{0}} \:, \quad k=1,2,3 \tag{028} \end{equation}$$ und so ihre Summe in Bezug auf $\:k\:$ $$\begin{equation} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\equiv \frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{029} \end{equation}$$

Aus den Gleichungen (025), (027) und (029) werden die$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$Teil der Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}\:$Ist

$$\begin{align} \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} & = \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} +\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} \tag{030}\\ & = \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$

Schließlich aus den Ausdrücken (020) und (030) für die Dichten$\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}},\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$die Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}}+\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$Ist

$$\begin{align} \mathcal{L}& = \mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha}} + \mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{031}\\ & = \left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & + \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & \text{(this is a wrong Lagrange density)} \nonumber \end{align}$$

3. Error-Trial-Enderfolg

Einsetzen dieses Lagrange-Dichteausdrucks in die Lagrange-Gleichung bzgl$\:\phi \:$, also Gleichung (017), ergibt nicht Gleichung (006), sondern

$$\begin{equation} -\nabla^{2}\phi-\frac{\partial }{\partial t}\left(2\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) =\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\:, \quad (\textbf{wrong}) \tag{032} \end{equation}$$ Das Erscheinen eines Extras $\:\left( \nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \:$liegt an der Laufzeit $\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \:$von $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta}}\:$und deshalb ist die durch Gleichung (031) gegebene Lagrange-Dichte nicht angemessen.

Um dieses Problem zu lösen, müssen wir (015), also (006), wie folgt aus einem anderen Blickwinkel betrachten

$$\begin{equation} \nabla \boldsymbol{\cdot}\left(\boldsymbol{\nabla}\phi + \mathbf{\dot{A}}\right) -\left(-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}\right) =0 \tag{033} \end{equation}$$

Beim Vergleich der Gleichungen (033) und (017) stellen wir fest, dass die erste aus der zweiten abgeleitet werden könnte, wenn wir anstelle von (018) haben

$$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overset{\centerdot}{\phi}}=0\:, \qquad \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\boldsymbol{\nabla}\phi\right)}=\boldsymbol{\nabla}\phi + \mathbf{\dot{A}} \:, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \tag{034} \end{equation}$$
also anstelle von (019) bzw. (020) die Gleichungen $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}\equiv 0\:, \quad \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2} +\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\:, \quad \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}\equiv-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{035} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha}}=\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{1}}}+\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} +\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{3}}}=\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \tag{036} \end{equation}$$ Jetzt ist es notwendig, wegzulassen $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\:$, Gleichung (025), der zweite Term $\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \:$da es in erscheint $\:\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha_{2}}} \:$, siehe die zweite der obigen Gleichungen (035).

Also haben wir anstelle von (025)

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}\equiv \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2} \tag{037} \end{equation}$$ während $\:\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}},\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\:$bleiben wie in den Gleichungen (027) und (029) unverändert $$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} &=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{2}}}\equiv\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right] \tag{038} \\ \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} &=\mathcal{L}_{\boldsymbol{\beta_{3}}}\equiv \frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \tag{039} \end{align}$$

Anstelle von (030)

$$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta}} & = \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{1}}}+\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{2}}} +\mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta_{3}}} \tag{040} \\ & = \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$ und schließlich für die neue Lagrange-Dichte, die wir anstelle von (031) haben

$$\begin{align} \mathcal{L}^{\prime}& = \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\alpha}} + \mathcal{L}^{\prime}_{\boldsymbol{\beta}} \tag{041} \\ & = \tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2} +\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}} -\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}} \nonumber\\ & + \tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[ \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k} -\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \nonumber \end{align}$$

Dichte$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$von (041) erhält man aus der Dichte$\:\mathcal{L}\:$von (031), wenn wir den Term weglassen$\:\left(\nabla \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\overset{\centerdot}{\phi}\:$. So$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$ist unabhängig von $\:\overset{\centerdot}{\phi}$.

In den folgenden Gleichungen gruppiert die Klammer über den linken 3 Termen diesen Teil der Dichte$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$die wesentlich an der Erzeugung der elektromagnetischen Gleichung (006) aus der Lagrange-Gleichung bzgl. beteiligt ist$\:\phi \:$, Gleichung (017), während die Klammer unter den rechten 4 Termen diesen Teil der Dichte gruppiert$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$das ist wesentlich an der Erzeugung der elektromagnetischen Gleichungen (008) aus den Lagrange-Gleichungen bzgl. beteiligt$\:\mathrm{A}_{1},\mathrm{A}_{2},\mathrm{A}_{3} \:$, Gleichung (022).

$$\begin{equation*} \mathcal{L}^{\prime}=\overbrace{\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}^{\text{with respect to }\phi}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \mathcal{L}^{\prime}=\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}-\frac{\rho \phi}{\epsilon_{0}}+\underbrace{\boldsymbol{\nabla}\phi\boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}+\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}c^{2}\sum^{k=3}_{k=1}\left[\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}-\Vert\boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}\right]+\frac{\mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}}{\epsilon_{0}}}_{\text{with respect to }\mathbf{A}} \end{equation*}$$

Beachten Sie den gemeinsamen Begriff$\:\left( \boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right)$.

Neuordnung der Terme im Ausdruck (041) der Dichte$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$wir haben

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\underbrace{\tfrac{1}{2}\left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\tfrac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}}_{\tfrac{1}{2}\left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2}}-\tfrac{1}{2}c^{2}\underbrace{\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right]}_{\left\Vert \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \end{equation}$$ $$\begin{equation} ----------------- \tag{042} \end{equation}$$

das ist

$$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\tfrac{1}{2}\left|\!\left|- \boldsymbol{\nabla}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right|\!\right|^{2}-\tfrac{1}{2}c^{2}\left|\!\left| \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right|\!\right|^{2}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right) \tag{043} \end{equation}$$ oder $$\begin{equation} \mathcal{L}^{\prime}=\frac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}+\frac{1}{\epsilon_{0}}\left( -\rho \phi + \mathbf{j}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{A}\right) \tag{044} \end{equation}$$

Nun, wenn die Dichte$\:\mathcal{L}^{\prime}\:$muss Energiedimensionen pro Volumeneinheit haben, die wir definieren$\:\mathcal{L}_{em}=\epsilon_{0}\mathcal{L}^{\prime} \:$So

$$\begin{equation} \boxed{\: \mathcal{L}_{em}\:=\:\epsilon_{0}\cdot\dfrac{\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}}{2}-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} \:} \tag{045} \end{equation}$$ daran denken $$\begin{align} \left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2} & = \left\Vert - \boldsymbol{\nabla}\phi -\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right\Vert^{2} = \left\Vert \mathbf{\dot{A}}\right\Vert^{2}+\Vert \boldsymbol{\nabla}\phi \Vert^{2}+2\left(\boldsymbol{\nabla}\phi \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{A}}\right) \tag{046a}\\ & \nonumber\\ \left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2} & = \left\Vert\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{A}\right\Vert^{2}=\sum^{k=3}_{k=1}\left[\Vert \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\Vert^{2}-\dfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial x_{k}}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla}\mathrm{A}_{k}\right] \tag{046b} \end{align}$$

Der Skalar$\:\left(\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2}-c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}\right)\:$ist eine der beiden Lorentz-Invarianten ⁽²⁾ des Körpers (die andere ist$\:\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B}$) im Wesentlichen gleich einer konstanten Zeiten$\:\mathcal{E}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$, Wo$\:\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$der Tensor des antisymmetrischen Feldes ^{(2) .}

Andererseits der Skalar$\: \left(-\rho \phi + \mathbf{j} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}\right)\:$ist im Wesentlichen das innere Produkt$\:J_{\mu}A^{\mu}\:$im Minkowski-Raum von zwei 4-Vektoren: die 4-Stromdichte$\:J^{\mu}=\left(c\rho,\mathbf{j}\right)\:$und das 4-Potenzial$\:A^{\mu}=\left(\phi/c,\mathbf{A}\right)\:$, ebenfalls ein Lorentz-invarianter Skalar.

Also die Lagrange-Dichte$\:\mathcal{L}_{em}\:$in Gleichung (045) ist Lorentz-invariant.

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^{(1) Durch ein Trial-and-Error-Verfahren fand ich den Lagrange-Operator in einem schwierigeren und komplizierteren Fall: siehe meine Antwort als user82794 hier Erhalten Sie den Lagrange-Operator aus dem System der gekoppelten Gleichung}

^{(2) In Anlehnung an W. Rindler in "Introduction to Special Relativity" Ed.1982 wird dieser Tensor in Gleichung (38.15) abgeleitet}

$$\begin{equation} \mathcal{E}_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & E_{1} & E_{2} & E_{3} \\ -E_{1} & 0 & -cB_{3} & cB_{2} \\ -E_{2} & cB_{3} & 0 & -cB_{1} \\ -E_{3} & -cB_{2} & cB_{1} & 0 \end{bmatrix} \quad \text{so} \quad \mathcal{E}^{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & -E_{1} & - E_{2} & -E_{3} \\ E_{1} & 0 & -cB_{3} & cB_{2} \\ E_{2} & cB_{3} & 0 & -cB_{1} \\ E_{3} & -cB_{2} & cB_{1} & 0 \end{bmatrix} \tag{38.15} \end{equation}$$ was durch die (Dualität) Ersetzungen $\:\mathbf{E}\to -c\mathbf{B}\:$Und $\:c\mathbf{B}\to \mathbf{E}\:$Erträge $$\begin{equation} \mathcal{B}_{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & -cB_{1} & -cB_{2} & - cB_{3} \\ cB_{1} & 0 & -E_{3} & E_{2} \\ cB_{2} & cE_{3} & 0 & -E_{1} \\ cB_{3} & -E_{2} & E_{1} & 0 \end{bmatrix} \quad \text{so} \quad \mathcal{B}^{\mu\nu}= \begin{bmatrix} 0 & cB_{1} & cB_{2} & cB_{3} \\ -cB_{1} & 0 & -E_{3} & E_{2} \\ -cB_{2} & cE_{3} & 0 & -E_{1} \\ -cB_{3} & -E_{2} & E_{1} & 0 \end{bmatrix} \tag{39.05} \end{equation}$$ Die beiden Invarianten von$\:\mathcal{E}^{\mu\nu}\:$-an ihrer Entstehungsweise sofort als solche erkennbar - lassen sich wie folgt ausdrücken: $$\begin{align} X & =\dfrac{1}{2}\mathcal{E}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}=-\dfrac{1}{2}\mathcal{B}_{\mu\nu}\mathcal{B}^{\mu\nu}=c^{2}\left|\!\left|\mathbf{B}\right|\!\right|^{2}-\left|\!\left|\mathbf{E}\right|\!\right|^{2} \tag{39.06}\\ Y & =\dfrac{1}{4}\mathcal{B}_{\mu\nu}\mathcal{E}^{\mu\nu}=c\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E} \tag{39.07} \end{align}$$

Letztendlich muss die Begründung sein, dass (wie Sie sagten) so konstruiert werden muss, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen Maxwell-Gleichungen sind. In gewisser Weise müssen Sie also den Lagrange erraten, der dies erzeugt, wie es hier zum Beispiel getan wird.

Sie können sich jedoch an der Tatsache orientieren, dass wir einen Lagrange-Operator für ein masseloses, nicht selbstwechselwirkendes Feld konstruieren müssen. Wir brauchen also eine Eich- und Lorentz-invariante Kombination des 4-Vektor-Potentials, die nur einen kinetischen Term hat (quadratisch in Ableitungen der Felder). Sie haben dann nicht viele Optionen abgesehen von$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$. Der Quellterm ist dann bei Bedarf trivial hinzuzufügen.

Die Antwort finden Sie in dem Buch "Differential Geometry and Lie Groups for Physicists" von Marian Fecko.

In der geometrischen Sprache eine Wirkung eines Feldes$F\in\Omega^{p}(M)$auf einer n-dim Riemannschen Mannigfaltigkeit$(M,g)$sollte als 'inneres Produkt' verstanden werden

$$\int_{M}F\wedge\ast_{g}F,$$ Wo $p<n$, Und $\ast_{g}$ist der Hodge-Star-Operator, dh $$\ast_{g}:\Omega^{p}(M)\rightarrow\Omega^{n-p}(M)$$ so dass die Wirkung diffeomorphismusinvariant ist und ihre Dichte ein Skalar ist.

Die Aktion eines freien Skalarfeldes hat beispielsweise folgende Form:

$$S[\phi]=\int_{M}d\phi\wedge\ast_{g}d\phi+\frac{m}{2}\int_{M}\phi\wedge\ast_{g}\phi=\int_{M}\sqrt{|g|}d^{n}x\left\{\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi+\frac{m\phi^{2}}{2}\right\}.$$ Wenn die 'Weltblatt'-Mannigfaltigkeit 1-dim ist, sind nur mögliche Felder 1-Formen. Man kann sich vorstellen, dass eine Aktion die folgende Form annimmt $$\int_{\mathbb{R}}A_{\mu}\frac{dx^{\mu}}{ds}ds$$ Wo $A=A_{s}ds=A_{\mu}\frac{dx^{\mu}}{ds}ds$ist eine 1-Form auf der Weltlinie, deren Hodge-Star-Dualfeld nicht definiert ist.

Sie können die Symmetrien von E & M verwenden, um zu zeigen, dass es im Wesentlichen nur einen vernünftigen Kandidaten gibt, der überprüft werden muss:

Die Wirkung, die wir suchen, sollte Lorentz-invariant, Eich-invariant, Paritäts- und Zeitumkehr-invariante und nicht mehr als zweite Ordnung in Ableitungen sein. Der einzige Kandidat ist [die Maxwell-Aktion]. [Srednicki QFT pg. 334.]