Faddeev-Popov Gauge-Fixing im Elektromagnetismus

Eine Eichsymmetrie bedeutet, dass die Bewegungsgleichungen die Entwicklung aller Konfigurationsvariablen nicht eindeutig bestimmen, dh dass das Euler-Lagrange-System unterbestimmt ist. Das kanonische Beispiel ist der Fall der klassischen Elektrodynamik, wo die Bewegungsgleichungen sind

$$\begin{equation} (\partial^2\delta^\mu_\nu-\partial^\mu\partial_\nu)A_\mu=0\tag1 \end{equation}$$

Beliebige Konfiguration des Formulars$A_\mu=\partial_\mu\Lambda$, für willkürlich$\Lambda=\Lambda(x)$, löst diese Gleichungen trivial, was bedeutet, dass eine Lösung gegeben ist$A$, die Konfiguration$A+\partial\Lambda$ist auch eine Lösung. Daher ist die Lösung der Bewegungsgleichungen nicht eindeutig, das System ist unterbestimmt und es liegt eine Eichsymmetrie vor. Auch wenn wir reparieren$\Lambda=0$an der Oberfläche, wo die Anfangsbedingungen gegeben sind, die Funktion$\Lambda$kann zu jedem späteren Zeitpunkt ungleich Null sein und daher beides$A$und$A+\partial \Lambda$die Bewegungsgleichungen lösen und die Anfangsbedingungen erfüllen.

Wenn das System unterbestimmt ist, hat das System keine wohldefinierte Green-Funktion, da, wenn letztere existierte, das System zu einem späteren Zeitpunkt von seinen Anfangsbedingungen zu einer eindeutigen Lösung entwickelt werden könnte. In diesem Sinne hat eine Eichtheorie keinen Propagator. Im klassischen Fall ist das kein Problem, aber im quantenmechanischen Fall ist das aus den üblichen Gründen (die wir hier nicht zusammenfassen) eine Katastrophe.

Die allgemeine Analyse von Messsystemen findet sich zB in Ref.1, das wir OP und allen Interessierten zum Lesen empfehlen. Kurz gesagt, der Eckpfeiler der Theorie ist Noethers zweiter Satz, der als eine Off-Shell-Identität der Form zusammengefasst werden kann

$$\begin{equation} D^i\mathrm{EL}_i[\varphi]\equiv 0\tag2 \end{equation}$$ wo $\mathrm{EL}$ist der Euler-Lagrange-Operator, und $D$ist ein bestimmtes Vektorfeld, das die Eichsymmetrie erzeugt. Dieser Satz impliziert, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht alle unabhängig sind und das System daher, wie bereits erwähnt, unterbestimmt ist.

Natürlich jede Transformation der Form

$$\begin{equation} D^i=T^{ij}\mathrm{EL}_j,\qquad\text{with}\qquad T^{ij}=-T^{ji}\tag3 \end{equation}$$ erfüllt trivialerweise Gl.2. Diese Transformationen, die manchmal als Schiefe bezeichnet werden, sind nicht als echte Eichtransformationen zu betrachten; jedes System besitzt sie, und sie machen das System nicht unterbestimmt. Wenn alle Eichsymmetrien schief sind, bestimmen die Bewegungsgleichungen die Evolution eindeutig, und das System lässt einen Propagator zu; Die quantenmechanische Theorie ist sicher und gesund (abgesehen von möglichen Gribov-Mehrdeutigkeiten, wie in den Kommentaren erwähnt).

Betrachten wir zum Beispiel eine Skalartheorie mit Bewegungsgleichungen

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\phi=0\tag4 \end{equation}$$

Dieses System ist invariant unter$\phi\to\phi+\psi$, wo$\psi(x)$ist jede Funktion, die erfüllt

$$\begin{equation} (\partial^2+m^2)\psi=0\tag5 \end{equation}$$

Ist diese Transformation eine Eichsymmetrie? Natürlich nicht! Diese Transformation ist trivial in dem Sinne, dass sie lediglich eine Manifestation des linearen Charakters der Bewegungsgleichungen ist. Wenn$\psi$an der Oberfläche, wo die Anfangsbedingungen gegeben sind, Null ist, dann wird es zu jedem späteren Zeitpunkt Null sein, weil$\psi$ist gezwungen zu befriedigen$(\partial^2+m^2)\psi=0$. Die Transformation$\phi\to\phi+\psi$stellt keine Redundanz dar, weil$\psi$ist gezwungen, eine Gleichung zu erfüllen, deren Lösung eindeutig ist; Festsetzung$\psi$bei einer Cauchy-Fläche legt diese Funktion zu einem späteren Zeitpunkt fest, stellt also keinen neuen Freiheitsgrad dar.

Betrachten wir nun unser Ausgangsbeispiel, die Bewegungsgleichungen der Elektrodynamik, aber lassen Sie uns nun die Lorentz-Eichung einführen,$\partial\cdot A\equiv0$. Die Bewegungsgleichungen lauten

$$\begin{equation} \partial^2A=0,\qquad\partial\cdot A=0\tag6 \end{equation}$$ dessen Lösung nun eindeutig ist: Das System hat keine anderen Eichfreiheitsgrade als die trivialen. Natürlich ist das System invariant unter Transformationen der Form $A\to\partial \Lambda$, wo $\Lambda$ist gezwungen zu befriedigen $\partial^2\Lambda=0$, aber dies ähnelt unserem vorherigen Beispiel: if $\Lambda$an der Oberfläche, wo die Anfangsbedingungen spezifiziert sind, null ist, wird es zu jedem späteren Zeitpunkt null bleiben, weil es gezwungen ist, es zu erfüllen $\partial^2\Lambda=0$. Diese "Rest-Eichsymmetrie" ist trivial, soweit es den zweiten Satz von Noether betrifft, in dem Sinne, dass sie das System nicht unterbestimmt macht; die Lösung des Euler-Lagrange-Systems ist einzigartig und der Propagator ist wohldefiniert; die quantenmechanische Theorie ist sicher und gesund.

Sie können argumentieren, dass, wenn der Lagrange-Operator der eichfesten Theorie unter unveränderlich ist$\delta A=\partial \Lambda$, mit$\partial^2\Lambda=0$, dann muss das Funktionsintegral divergieren, weil es im Konfigurationsraum Richtungen gibt, in denen die Lagrange-Funktion konstant ist. Überzeugen Sie sich davon, dass dies nicht der Fall ist, indem Sie diese Invarianz mit der zuvor besprochenen Invarianz vergleichen$\delta\phi=\psi$mit$(\partial^2+m^2)\psi=0$. Das Funktionsintegral eines Skalarfeldes ist trotz dieser Invarianz nicht divergent, und zwar gerade deshalb, weil Noethers zweiter Satz nicht gilt: Die Invarianz ist trivial und führt nicht zu einem unterbestimmten Bewegungsgleichungssystem. In einem heuristischen Sinne kann man sagen, dass die Bedingung$\partial^2\Lambda=0$restriktiv genug ist, damit die Transformation$\delta A=\partial\Lambda$hat im Raum der Feldkonfigurationen das Maß Null - es trägt nicht zum funktionalen Integral bei.

Verweise

1. DeWitt, Der globale Ansatz zur Quantenfeldtheorie, Kapitel 2-6.