Warum liefern einzelne Teilchenzustände eine Wiederholung? der inhomogenen Lorentzgruppe?

Question

Warum liefern einzelne Teilchenzustände eine Wiederholung? der inhomogenen Lorentzgruppe?

Physik
Poincare-Symmetrie
Spezielle Relativität
Quantenfeldtheorie
Gruppendarstellungen

1989189198

Weiter zu dieser Frage : sagt Weinberg

Im Allgemeinen kann es möglich sein, durch Verwendung geeigneter Linearkombinationen der $\psi_{p,\sigma}$ die zu wählen $\sigma$ Etiketten so, dass $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ ist blockdiagonal; mit anderen Worten, damit die $\psi_{p,\sigma}$ mit $\sigma$ innerhalb eines beliebigen Blocks liefern für sich genommen eine Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe.

Aber warum inhomogene Lorentz-Gruppe, wenn wir zunächst eine homogene Lorentz-Transformation an den Zuständen durchgeführt haben, via $U(\Lambda)$ ? Ich möchte auch klarstellen, was damit gemeint ist, dass Staaten eine Vertretung „einrichten“.

In Bezug auf die obige Verwirrung zeigt sich das gleiche Szenario erneut während der Diskussion über die kleine Gruppe. Hier ein kleiner Hintergrund: $k$ ist ein "Standard" 4-Impuls, so dass wir jeden beliebigen 4-Impuls ausdrücken können $p$ als $p^{\mu} = L^{\mu}_{\nu}(p) k^{\nu}$ , Wo $L$ von einer Lorentz-Transformation abhängig ist $p$ . Wir betrachten die Untergruppe der Lorentztransformationen $W$ die gehen $k$ invariant (kleine Gruppe), und finden Sie Folgendes:

$U(W)\psi_{k \sigma} = \sum_{\sigma'} D_{\sigma' \sigma}(W)\psi_{k \sigma'}$ . Dann sagt er:

Die Koeffizienten $D(W)$ eine Darstellung der kleinen Gruppe bereitstellen; dh für beliebige Elemente $W$ Und $W'$ , wir bekommen $D_{\sigma' \sigma}(W'W) = \sum_{\sigma''}D_{\sigma' \sigma''}(W)D_{\sigma''\sigma}(W')$ .

So ist es schon im ersten Teil über die Lorentz-Gruppe, $C$ Matrizen liefern die Darstellung und nicht $\psi$ ?

Auch für den sehr vereinfachten Fall if $C_{\sigma'\sigma}(\Lambda, p)$ völlig diagonal ist, würde ich in einem solchen Fall folgendes richtig sagen, für jeden $\sigma$ ?

U (Λ) ψ_{P, σ} = k_{σ} (Λ, P) ψ_{Λ P, σ}

$U(\Lambda)\psi_{p,\sigma} = k_{\sigma}(\Lambda, p)\psi_{\Lambda p, \sigma}$

Nur in diesem Fall ist mir das klar $U(\Lambda)$ bildet eine Vertretung der Lorentz-Gruppe, da $\psi_{p,\sigma}$ zugeordnet sind $\psi_{\Lambda p, \sigma}$ .

David z

Nur ein Tipp: Sie müssen die Fragen nicht so dreist als Folgefragen markieren. Ich habe einige kosmetische Änderungen an dieser und Ihrer letzten Frage vorgenommen, aber wenn ich die Bedeutung irgendwo von dem geändert habe, was Sie fragen wollten, korrigieren Sie es bitte. :-)

Vibert

Eine Repräsentation ist ein Vektorraum mit einer daran angehängten Gruppenaktion. In der linearen Algebra ist es ein Bündel von Vektoren

v^{i}

$v^i$ die sich unter der Gruppenaktion bewegen, dh wann

g

$g$ ein Gruppenelement ist, dann gibt es eine Matrix

D (g)^{i}_{j}

$D(g)^i{}_j$ die auf sie wirkt als

D (g)^{i}_{j} v^{j}

$D(g)^i{}_j v^j$ . In QM/QFT wird der Vektorraum von Zuständen aufgespannt

| ψ (p, σ) ⟩

$|\psi(p,\sigma)\rangle$ (oder welche Schreibweise auch immer Weinberg verwendet). Das meint er mit "Ausstatten" eines Repräsentanten.

1989189198

@Vibert: Das dachte ich mir. Aber

U

$U$ Matrizen bilden die Zustände ab

ψ

$\psi$ zu Lorentz-transformierten Zuständen, so sollte es dann sein

C_{σ σ^{'}}

$C_{\sigma \sigma'}$ Matrizen, die eine Darstellung der Lorentz-Gruppe liefern. Ich bin verwirrt, warum Weinberg sagt, dass die Staaten

ψ

$\psi$ sind diejenigen, die eine solche Darstellung liefern. (Siehe die bearbeitete Frage)

Vibert

Okay, ich verstehe, es ist eine Frage der Sprache. Formal ist eine Repräsentation eine lineare Abbildung von der Gruppe zu Ihrem Vektorraum, also in diesem Fall die Abbildung

W \mapsto D (W) .

$W \mapsto D(W).$ Aber wenn Sie diese Konstruktion verwenden, hängt es natürlich von beiden Fällen ab

ψ

$\psi$ und die darauf wirkenden Lorentz-Matrizen. Deshalb verwenden wir in der Physik den Begriff Darstellung schlampiger als unsere Mathematikerfreunde.

Antworten (2)

Warum liefern einzelne Teilchenzustände eine Wiederholung? der inhomogenen Lorentzgruppe?

Nur ein Tipp: Sie müssen die Fragen nicht so dreist als Folgefragen markieren. Ich habe einige kosmetische Änderungen an dieser und Ihrer letzten Frage vorgenommen, aber wenn ich die Bedeutung irgendwo von dem geändert habe, was Sie fragen wollten, korrigieren Sie es bitte. :-)
Eine Repräsentation ist ein Vektorraum mit einer daran angehängten Gruppenaktion. In der linearen Algebra ist es ein Bündel von Vektoren $v^i$ die sich unter der Gruppenaktion bewegen, dh wann $g$ ein Gruppenelement ist, dann gibt es eine Matrix $D(g)^i{}_j$ die auf sie wirkt als $D(g)^i{}_j v^j$ . In QM/QFT wird der Vektorraum von Zuständen aufgespannt $|\psi(p,\sigma)\rangle$ (oder welche Schreibweise auch immer Weinberg verwendet). Das meint er mit "Ausstatten" eines Repräsentanten.
@Vibert: Das dachte ich mir. Aber $U$ Matrizen bilden die Zustände ab $\psi$ zu Lorentz-transformierten Zuständen, so sollte es dann sein $C_{\sigma \sigma'}$ Matrizen, die eine Darstellung der Lorentz-Gruppe liefern. Ich bin verwirrt, warum Weinberg sagt, dass die Staaten $\psi$ sind diejenigen, die eine solche Darstellung liefern. (Siehe die bearbeitete Frage)
Okay, ich verstehe, es ist eine Frage der Sprache. Formal ist eine Repräsentation eine lineare Abbildung von der Gruppe zu Ihrem Vektorraum, also in diesem Fall die Abbildung $W \mapsto D(W).$ Aber wenn Sie diese Konstruktion verwenden, hängt es natürlich von beiden Fällen ab $\psi$ und die darauf wirkenden Lorentz-Matrizen. Deshalb verwenden wir in der Physik den Begriff Darstellung schlampiger als unsere Mathematikerfreunde.

Trimok · Answer 1

In der inhomogenen Lorentzgruppe $ISO(1,3)$ , haben Sie die Raum-Zeit-Übersetzungsgruppe $\mathbb{R}^{1,3}$ , und die Lorentz-Gruppe $SO(1,3)$ .

Sie beginnen, eine Darstellung der Raum-Zeit-Übersetzungsgruppe zu finden, indem Sie einen Impuls wählen $p$ . Ihre Darstellung muss also eine haben $p$ Index,

ψ_{P} .

$\psi_p \, .$

Danach müssen Sie die vollständige Darstellung erhalten, indem Sie eine Darstellung der Lorentz-Gruppe finden, die mit dem Momentum kompatibel ist $p$ , wird dadurch ein weiterer Index hinzugefügt $\sigma$ was der Polarisation entspricht, also haben Sie eine Darstellung,

ψ_{P, σ},

$\psi_{p, \sigma} \, ,$

was die Darstellung der inhomogenen Lorentz-Gruppe ist.

Kunst Braun · Answer 2

Was die Bedeutung von Repräsentation betrifft, hier ist eine Definition aus Peter Woits Vorlesungsunterlagen "Quantum Mechanics for Mathematicians" (online verfügbar), Abschnitt 1.3:

Definition (Darstellung). Eine (komplexe) Darstellung ( $\pi, V$ ) einer Gruppe $G$ ist ein Homomorphismus
$π : G \in G \to π (G) \in G L (v)$ $\pi: g \in G \rightarrow \pi(g) \in GL(V)$ Wo $GL(V)$ ist die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen $V \rightarrow V$ , mit $V$ ein komplexer Vektorraum.

Das Sagen einer Karte ist ein Homomorphismusmittel
$π (G_{1}) π (G_{2}) = π (G_{1} G_{2})$ $\pi(g_1) \pi(g_2) = \pi(g_1g_2)$ Wenn $V$ ist endlichdimensional und wir haben eine Basis von gewählt $V$ , dann haben wir eine Identifikation von linearen Abbildungen und Matrizen $G L (v) ≃ G L (N, C)$ $GL(V) \simeq GL(n,\boldsymbol{C})$ Wo $GL(n,\boldsymbol{C})$ ist die Gruppe der Invertierbaren $n$ von $n$ komplexe Matrizen.

Die Darstellung ist also der Homomorphismus (die operationerhaltende Abbildung) aus der Gruppe $U(\Lambda)$ zu den Transformationsmatrizen (Weinbergs C's und D's), aber diese Matrizen benötigen einen Vektorraum (die $\psi$ s), worauf zu handeln ist.

Für den Rest, hier ist meine Antwort (Vorbehalt, ich bin nur ein langsamer Schüler):

Dieser Abschnitt 2.5 trägt den Titel „Ein-Teilchen-Zustände“. Wenn $C$ als reduzierbar (blockdiagonalisierbar) erweist, sind die verschiedenen Blöcke voneinander unabhängig (keine Vermischung zwischen Blöcken) und werden als unterschiedliche Teilchenspezies interpretiert. Für einen einzelnen Teilchenzustand wird also ein einzelner irreduzibler Block angenommen.

In diesem Argument ist es in Ordnung, von homogenen zu inhomogenen Transformationen zu verallgemeinern, da sich Übersetzungen nicht mischen $\sigma$ 's und haben daher keinen Einfluss auf die Blockstruktur von $C$ :

U (1, A) Ψ_{P, σ} = e^{- ich P \cdot A} Ψ_{P, σ}

$U(1,a) \Psi_{p,\sigma} = e^{-ip\cdot a} \Psi_{p,\sigma}$

Schließlich, wenn Sie von einer vollständigen Diagonale ausgehen $C$ , ich denke, Sie haben ein paar Partikelarten ohne $\sigma$ -Mischung überhaupt, also Skalare, jeweils mit einer trivialen kleinen Gruppe ( $k=1$ ).

Warum liefern einzelne Teilchenzustände eine Wiederholung? der inhomogenen Lorentzgruppe?

1989189198

David z

Vibert

1989189198

Vibert

Antworten (2)

Trimok

Kunst Braun

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