Gibt es ein Argument dafür, das θθ\theta-Vakuum für eine Yang-Mills-Theorie zu verwenden, die unabhängig von der Anwesenheit von Fermionen funktioniert?

Betrachten Sie eine Yang-Mills-Theorie, möglicherweise einschließlich Fermionen. Es hat viele mögliche Leerzeichen { | n ⟩ } beschriftet mit ganzzahliger Wicklungsnummer n , definiert als topologische Invariante Maurer-Cartan: für das Eichelement g ( n ) und entsprechende einheitliche Großspurtransformation U ( g ( n ) ) wir haben

| n ⟩ = U ( g ( n ) ) | 0 ⟩ , n = ich 24 π 2 ∫ S 3 d 3 θ ϵ ich j k tr [ g ( n ) ∂ ich g ( n ) − 1 g ( n ) ∂ k g ( n ) − 1 g ∂ k g ( n ) − 1 ]
Was ist das theorieunabhängigste Argument, das zeigt, dass das Vakuum der nicht-abelschen Eichtheorie dem entsprechen muss θ -Vakuumzustand
| θ ⟩ = ∑ n = − ∞ ∞ e ich n θ | n ⟩ ?

Beispiele für Argumente, die für mich nicht vollständig sind

  1. Betrachten Sie eine reine YM-Theorie ohne Fermionen. Um zu argumentieren, warum wir die verwenden müssen θ -Vakuum als Grundzustand, Leute zeigen, dass der Hamiltonian H ist in der Basis nichtdiagonal { | n ⟩ } :
    ⟨ n | H | m ⟩ ≃ e − 8 π 2 g 2 | n − m |
    und daher ist ein Vakuumtunneln möglich. Dies erfordert, dass wir den Hamilton-Operator und den diagonalisieren θ -Vakuumbasis ist die Diagonalbasis.

Aber dieses Argument funktioniert nur gut, wenn die semiklassische Näherung gültig ist, und auch nur, wenn masselose Fermionen nicht enthalten sind.

  1. Das erste Argument gilt jedoch nur für die reine Yang-Mills-Theorie und bricht zusammen, wenn masselose Fermionen einbezogen werden, da masselose Fermionen das Tunneln unterdrücken. Die Leute verwenden dann ein Argument, das auf dem Cluster-Decomposition-Prinzip (oder CDP) basiert. Die ausführliche Argumentation wird zB in "The structure of the gauge theory vacuum" von Callan Jr. gezeigt. Man führt einen konservierten Operator ein
    Q ~ 5 = ∫ d 3 r ( J 0 , 5 − 2 K 0 ) ,
    wo K 0 ist definiert als
    G μ v , a G ~ a μ v = 2 ∂ μ K μ ,
    und durch Verwendung dieser Ladung zeigt sich, dass das VEV des 2c-Chiralitätsoperators ungleich Null ist B ( x ) (dh, [ Q ~ 5 , B ( x ) ] = 2 c B ( x ) ) zeigen, dass der VEV
    ⟨ n | B ( x ) B † ( 0 ) | n ⟩
    befriedigt die CDP nicht
    lim | x | → ∞ ⟨ n | B ( x ) B † ( 0 ) | n ⟩ = lim | x | → ∞ ⟨ n | B ( x ) | n ⟩ ⟨ n | B ( 0 ) | n ⟩
    Das θ -Vakuum ist die Lösung dieses Problems.

Aber dieses Argument (sein detaillierter Teil) hängt von der Anwesenheit von Fermionen ab. Genau, wir führen die Chiralität ein und arbeiten mit dem Chiralitätsoperator Q ~ 5 .

Was will ich?

Ich möchte ein Argument (möglicherweise rein mathematisch), das zeigt, dass wir das wählen müssen θ -Vakuum als Grundzustand der YM-Theorie (sofern vorhanden) unabhängig vom genauen Feldinhalt, insbesondere unabhängig vom Vorhandensein masseloser Fermionen. Gibt es eine solche Argumentation?

Beweist Srednicki dies nicht (nicht störend und ohne Erwähnung von Fermionen) im Absatz in der Mitte von S. 593, nur indem man verlangt, dass der Hamiltonoperator eichinvariant ist?

Antworten (1)

Betrachten Sie euklidische Yang Mills weiter R 3 × S 1 . Die euklidische Zustandssumme ist eine Summe über verschiedene topologische Sektoren, die mit gekennzeichnet sind

q = 1 32 π 2 ∫ d 4 x G μ v a G ~ μ v a
Führen Sie nun eine Fourier-Transformation bezüglich durch q , also die Zustandssumme bestimmen Z ( θ ) = ∑ q e ich q θ Z q . Wenn wir den Grundzustand ( T = 0 ) lassen wir die Größe der S 1 gehen Sie ins Unendliche. Die Partitionsfunktion tastet nun die Wellenfunktion des Grundzustands ab. Wir können die Mittelwerte eines beliebigen Operators definieren als ⟨ θ | Ö | θ ⟩ ≡ 1 Z ( θ ) ∑ q e ich q θ Ö q , die effektiv definiert | θ ⟩ .

Dies scheint eine Definition des zu geben | θ ⟩ , aber kein Argument, warum sie eher die "wahre" vacua sein sollten als die | q ⟩ . Könnten Sie das etwas näher erläutern?
Ich benutze einfach die Tatsache, dass die Partitionsfunktion von QCD eine Summe über verschiedene topologische Sektoren beinhaltet. Die halbklassische Näherung reicht aus, um die Existenz dieser Sektoren festzustellen, auch wenn es nicht quantitativ zuverlässig ist, ihren Beitrag zu berechnen.
Ich bezweifle nicht die hier gegebene Existenz/Definition, aber die Frage fragt nicht nur, wie man die definiert | θ ⟩ - es schreibt schon | θ ⟩ = ∑ n e ich n θ | n ⟩ - aber warum das die "echten" Vakuen sind, die man als Grundzustand betrachten sollte. Sie haben kein Argument dafür geliefert Z ( θ ) sind "besser" darin, Vakuumfunktionale zu sein als die Z q , es sei denn, ich übersehe hier etwas, das Sie für offensichtlich halten.
Die Zustandssumme ist automatisch eine Summe über alle topologischen Sektoren. Die Natur hat sich möglicherweise dafür entschieden, sie mit einem Phasenfaktor zu gewichten e ich θ q , aber wir haben keine Beweise dafür θ ≠ 0 . Allerdings auch für θ = 0 wir haben keine andere Wahl, als über alle Felder und damit alle zu summieren q .
Aha. Was hat dann Ihre Erwähnung der Fourier-Transformation damit zu tun? Sollte das Argument nicht eher sein, dass die totale Zustandssummenfunktion von der Form ist ∑ q f ( q ) Z q ) und dass eine Variante der Cluster-Zerlegungskräfte f ( q ) ein exponentieller Phasenfaktor durch sein f ( q 1 + q 2 ) = f ( q 1 ) f ( q 2 ) ?
Ich denke, es ist sogar noch einfacher. Ich habe eine Partitionsfunktion mit verschiedenen q-Sektoren. Vielleicht möchte ich diese Sektoren neu gewichten oder den Durchschnitt festlegen ⟨ q ⟩ . Ich mache das, indem ich eine Phase hinzufüge e ich θ q , so dass ich ⟨ q ⟩ = ∂ Z / ∂ θ . Ich denke, der einzige Ort, an dem die Physik eintritt, ist, dass wir im euklidischen Raum eine Phase haben, keine echte Exponentialfunktion (so dass, da q diskret ist, Z ( θ ) ist periodisch).
Gibt es ein Argument dafür, das θθ\theta-Vakuum für eine Yang-Mills-Theorie zu verwenden, die unabhängig von der Anwesenheit von Fermionen funktioniert?
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