Warum muss zur Bestimmung der Konkavität die 2. Ableitung genommen werden?

Ich habe Probleme zu verstehen, warum Sie die zweite Ableitung benötigen, um die Konkavität zu bestimmen.

Wenn ich zum Beispiel die Gleichung habe:

j = − 4 X 2 + 24 X + 42

j ' = − 8 X + 24

Ich weiß allein aus der ersten Ableitung, dass die Steigung -8 ist, aus dem, was Sie lernen j = M X + B . Was bringt es also, die zweite Ableitung zu nehmen? Ist es an dieser Stelle nicht überflüssig, die Steigung der Steigung (zweite Ableitung) zu nehmen?

Zum Kontext: Ich habe Erklärungen online gelesen / gehört. Und ich verstehe die Erklärungen zum Erhalten der ersten Ableitung für die Steigung. Aber dann sagt die Erklärung etwas in der Art von: "Also folgt, dass die zweite Ableitung uns das gibt, was wir für die Konkavität brauchen. Wenn die Steigung größer als 0 ist, ... Wenn die Steigung kleiner als 0 ist, ... "

Aber wenn die erste Ableitung eine Tangente (Gerade) ist, wofür nehmen wir dann wieder die Steigung? Ich dachte, die Ableitung könnte für gerade Linien verwendet werden, war aber besonders nützlich für nichtlineare Diagramme. Andernfalls, wenn es linear ist, könnten wir einfach verwenden j = M X + B um die Steigung zu bestimmen.

Oder mache ich das zu einfach? Und der eigentliche Punkt ist, dass Sie, wenn Sie Gleichungen höherer Ordnung haben, differenzieren können, bis Sie keine Variablen mehr haben, und das gibt Ihnen die Steigung?

Hinweis: Ich habe diese Frage gesehen, bin aber immer noch verwirrt. Konkavität und zweite Ableitung

Können Sie in vielen Szenarien schnell Kopfrechnen durchführen, um die Konkavität zu bestimmen? Ja. In diesem Sinne sicher ... das Nehmen der zweiten Ableitung kann in Ihrem Beispiel unnötig sein, um es explizit durchzuführen ... aber nicht jedes Beispiel wird so einfach oder bequem sein. Der Punkt ist, dass es zunimmt, während die erste Ableitung positiv ist, und abnimmt, während die erste Ableitung negativ ist. Es ist nach oben konkav, während die zweite Ableitung positiv ist, und nach unten konkav, während die zweite Ableitung negativ ist.
" Sie können differenzieren, bis Sie keine Variablen haben "... nun, sicher, in einigen Fällen ( nicht in allen Fällen ) könnte das möglich sein... das könnte jedoch nicht hilfreich sein. " ... und das gibt dir die Steigung " Nein. Die erste Ableitung gibt dir die Steigung. Weitere Derivate vorbei, die Ihnen andere Informationen geben.
Die Konkavität bezieht sich darauf, wie sich die Neigung ändert. Wenn Ihre Steigung positiver (oder weniger negativ) wird, dann ist Ihre Kurve nach oben konkav. Wenn Ihre Steigung negativer (oder weniger positiv) wird, dann ist Ihre Kurve nach unten konkav. Wie soll man also die Veränderung der Steigung messen? Durch Bilden der Ableitung der Steigungsfunktion natürlich --- dh durch Bilden der Ableitung der Ableitung.
Die mehrfache Verwendung des Begriffs „Steigung“ in verschiedenen Kontexten kann zu Ihrer Verwirrung beitragen. Ableitung und Steigung sind ungefähr gleichbedeutend: Die Ableitung gibt Ihnen eine Funktion für die Steigung. Die erste Ableitung (y') ergibt die Steigung von y. Die zweite Ableitung (y'') ergibt die Steigung von y' und die Konkavität von y. Sie haben bemerkt, dass die Gleichung für y' die Form y = mx + b hat, also haben Sie eine Abkürzung zu ihrer Steigung, aber denken Sie daran, dass die Gleichung hier für y' gilt, nicht für y, also wäre es richtiger zu sagen: y' = mx + b. Dieses m ist die Steigung von y' und nicht die Steigung von y.

Antworten (4)

Der Wert der Ableitung ist die Steigung der Tangente. Bei positiver Steigung nimmt die Funktion zu, bei negativer Steigung fällt die Funktion.

Wenn Sie nach der Konkavität fragen, fragen Sie danach, wie sich die Neigung ändert . Bei zunehmender Steigung wird die Kurve steiler, also „aufbiegend“ oder „kappenförmig“. Das bedeutet (normalerweise), dass sie über der Tangente liegt. Wenn die Neigung abnimmt, "biegt sich die Kurve nach unten", sodass sie unter der Tangente liegt. Die einfachsten Funktionen sind F ( X ) = X 2 die kappenförmig ist, immer über ihren Tangenten, und F ( X ) = − X 2 .

Da Ableitungen Änderungsraten messen, können Sie feststellen, ob die Ableitung selbst zunimmt oder abnimmt, indem Sie ihre Ableitung finden: die zweite Ableitung der ursprünglichen Funktion. Für die Parabeln im vorhergehenden Absatz hat die erste eine konstante zweite Ableitung 2 , was bedeutet, dass die Steigung mit dieser konstanten Rate zunimmt.

"Wenn Sie nach der Konkavität fragen, fragen Sie danach, wie sich die Neigung ändert." ... Die gesamte Antwort ist sinnvoll, aber dieser Teil hat wirklich geholfen. Ich dachte an Konkavität nur als eine andere Art zu fragen, was die Neigung ist, anstatt es als eine völlig andere Frage darüber zu sehen, wie sich die Neigung ändert. Danke schön!

Um einen Punkt hervorzuheben, der in anderen Antworten nicht betont wird: Die Verwendung der 2. Ableitung ist zur Bestimmung der Konkavität nicht erforderlich , da es alternative Methoden zur Bestimmung der Konkavität gibt.

Nehmen Sie zum Beispiel F ( X ) = X 4 . Das kannst du leicht überprüfen F ″ ( 0 ) = 0 , also funktioniert der 2. Ableitungstest hier nicht einmal. Nichtsdestotrotz ist der Graph konkav nach oben gerichtet X = 0 , die Sie mit einem Grafikrechner beobachten können. Es gibt eine alternative Methode zur Überprüfung der nach oben gerichteten Konkavität von F ( X ) = X 4 , wie in anderen Antworten erklärt: Überprüfen Sie direkt, dass die erste Ableitung F ' ( X ) = 4 X 3 ist eine steigende Funktion.

Aber dieser Test der "1. Ableitung" auf Konkavität (dh F ' ( X ) ist eine ansteigende Funktion) Methode ist schwieriger anzuwenden als nur die Verwendung des 2. Ableitungstests (dh F ″ ( X ) eine positive Funktion ist), unter der Annahme, dass der 2. Ableitungstest funktioniert.

Der eigentliche Punkt ist also, dass die Verwendung des 2. Ableitungstests zur Überprüfung der Konkavität sehr nützlich ist :

  • Es ist sehr einfach zu bedienen;
  • Fälle, in denen es nicht funktioniert, sind selten (z F ( X ) = X 4 );
  • Alternative Methoden sind schwieriger anzuwenden.
Nein, der 2. Ableitungstest funktioniert gut bei f''(0). 0 ist nicht undefiniert, es ist die Antwort: weder konkav-oben noch -unten, sondern "flach" bei 0. Die 2. Ableitung funktioniert immer, wenn sie existiert. Nur weil es links und rechts von 0 konkav ist, heißt das nicht, dass es bei 0 konkav ist. Im Gegensatz zu y=x^2 und trotz des Aussehens auf einer grafischen Berechnung ist y=x^4 wirklich "flach" (weder konz -up noch -down) bei 0. f''(x)=0 für alle x für eine Linie, was kein Fehler, aber die richtige Antwort ist: flach an allen Punkten. Aber y=x^4 ist nur flach bei 0.
@Glen Yours ist eine Definition von Konkavität, die manchmal in Analysis-Klassen verwendet wird, aber die typische Definition, die allgemeiner verwendet wird, lautet: " F : R → R ist auf einem Intervall konvex (konkav nach oben). ICH wenn für alle A , B ∈ ICH und alles T ∈ [ 0 , 1 ] wir haben ( 1 − T ) ⋅ F ( A ) + T ⋅ F ( B ) ≥ F ( ( 1 − T ) ⋅ A + T ⋅ B ) ", dh wenn die Strecke, die zwei Punkte verbindet, immer über der Kurve liegt." Kein Kalkül erforderlich. Siehe en.wikipedia.org/wiki/Convex_function

Die erste Ableitung gibt dir die Steigung einer Geraden an, die den Graphen an einem Punkt tangiert X .

Die zweite Ableitung ist ein Maß dafür, wie sich diese Steigung ändert, wenn wir variieren X .

Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion F ( X ) = X 2 . Bei X = − 1 , die Steigung der Tangente ist − 2 . Bei X = 0 , die Steigung der Tangente ist 0 . Die Tatsache, dass die Steigung der Tangente mit zunehmendem zunimmt X , ist gleichbedeutend damit, das zu sagen F " ( X ) > 0 , was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass der Graph nach oben konkav ist

Ja, in der Quadratik, die X 2 Begriffe sagen Ihnen, ob es konkav ist; Das Verfahren kann jedoch bei komplexeren Funktionen nützlicher sein. Wenn an einem Punkt die zweite Ableitung Null ist und die zweite Ableitung positiv ist, wissen Sie (zumindest um diesen Punkt herum), dass sie nicht konkav nach unten ist, und wenn sie positiv ist, wissen Sie, dass sie es ist, egal ob es quadratisch ist oder eine Zwei- line-trig-function-mess. Nun, das funktioniert zwar nicht für einige kabelgebundene Funktionen, aber das sollte Ihnen eine Vorstellung davon geben, warum.

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