Warum sind die Winkelgeschwindigkeiten des Doppelpendels in der Kleinwinkelnäherung klein? [Duplikat]

Im Lagrangian für Doppelpendel für kleine Winkel der Begriff$\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \left [ 1-\frac{(\theta_1-\theta_2)^2}{2} \right ]$wird durch ersetzt$\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2$, Weil$\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2 \frac{(\theta_1-\theta_2)^2}{2}$wird vernachlässigt. Das Produkt$\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2$hat die zweite Ordnung der Kleinheit, aber warum? Dieser Kommentar erklärt für einfaches Pendel, sagt aber, dass es für Doppelpendel komplizierter ist. Was ist die Erklärung für das Doppelpendel?

Bearbeiten: Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber ich glaube, ich habe die Antwort gefunden. Wenn das Doppelpendel aus der Ruhe zu schwingen beginnt, ist die potentielle Energie in diesem Moment$E_{pm}=m_1gh_{1i}+m_2gh_{2i}$, Wo$h_{1i}$Und$h_{2i}$sind die Längen von der Bezugslinie zu den Massenschwerpunkten zweier Pendel. In kleinen Winkelnäherungen sind diese Höhen$h_{1i}=l_1+l_2-l_{cm1}+\frac{\theta_{1i}^2}{2}l_{cm1}$Und$h_{2i}=l_2-l_{cm2}+l_1\frac{\theta_{1i}^2}{2}+l_{cm2}\frac{\theta_{2i}^2}{2}$. Kinetische Energie des ersten Pendels ist$E_{k1}=E_{pm}-E_{k2}-E_{p1}-E_{p2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{I_1\dot{\theta_1}^2}{2}=\frac{m_1l_{cm1}^2+I_1}{2}\dot{\theta_1}^2$. Kinetische Energie der Sekunde ist$E_{k2}=\frac{m_2v_2^2}{2}+\frac{I_2\dot{\theta_2}^2}{2}=\frac{m_2l_{cm2}^2+I_2}{2}\dot{\theta_2}^2$.$E_{k1}=\frac{g}{2}((\theta_{1i}^2-\theta_{1}^2)(m_1l_{cm1}+m_2l_1)+m_2l_{cm2}(\theta_{2i}^2-\theta_{2}^2))-E_{k2}$ $\dot{\theta_1}=\sqrt{\frac{g((\theta_{1i}^2-\theta_{1}^2)(m_1l_{cm1}+m_2l_1)+m_2l_{cm2}(\theta_{2i}^2-\theta_{2}^2))-2E_{k2}}{m_1l_{cm1}^2+I_1}}=\sqrt{\frac{2E_{k1}}{m_1l_{cm1}^2+I_1}}$
$\dot{\theta_2}=\sqrt{\frac{g((\theta_{1i}^2-\theta_{1}^2)(m_1l_{cm1}+m_2l_1)+m_2l_{cm2}(\theta_{2i}^2-\theta_{2}^2))-2E_{k1}}{m_2l_{cm2}^2+I_2}}=\sqrt{\frac{2E_{k2}}{m_2l_{cm2}^2+I_2}}$
Massen und Längen haben Einfluss, aber$\dot{\theta_1}$Und$\dot{\theta_1}$sollte klein sein, weil Begriffe$(\theta_{1i}^2-\theta_{1}^2)$Und$(\theta_{2i}^2-\theta_{2}^2)$sind klein. Auch wann$\dot{\theta_1}$ist maximal,$E_{k1}$ist maximal, also$\dot{\theta_2}$wird kleiner sein. Ähnlich verhält es sich mit$\dot{\theta_1}$.$\dot{\theta_1}$Und$\dot{\theta_1}$wird in der gleichen Zeit nicht maximal sein, also wird ihr Produkt klein sein.