Gilt das Black-Scholes-Modell für amerikanische Optionen?

Der Unterschied zwischen einer amerikanischen und einer europäischen Option besteht darin, dass die amerikanische Option jederzeit ausgeübt werden kann, während die europäische Option nur am Abrechnungstag liquidiert werden kann. Die amerikanische Option ist ein „kontinuierliches“ Instrument, während die europäische Option ein „zeitpunktbezogenes“ Instrument ist. Black Scholes gilt für die letztere, europäische Option. Unter "bestimmten" (aber keineswegs allen) Umständen stehen sich die beiden nahe genug, um als Ersatzspieler angesehen zu werden.

Einer ihrer Schüler, Robert Merton, „optimierte“ es, um amerikanische Optionen zu beschreiben. Jahre später gibt es Debatten darüber und andere Optimierungen.

Black-Scholes ist "nah genug" für amerikanische Optionen, da es normalerweise keine Gründe gibt, früh zu trainieren, also spielt die Fähigkeit dazu keine Rolle. Was gut ist, da es schwierig ist, mathematisch zu modellieren, habe ich gelesen.

Eine vorzeitige Ausübung wird normalerweise durch eine seltsame Fehlbewertung aus technischen / Marktaktionsgründen verursacht, bei denen die theoretischen Optionsbewertungen durcheinander gebracht werden. Wenn Sie beispielsweise einen Call verkaufen, der weit im Geld liegt und keinen Zeitwert (nach dem Spread) erhält, haben Sie den Call wahrscheinlich an einen Arbitrageur verkauft, der ihn nur ausüben wird. Aber ungewöhnliche Dinge wie diese ändern nicht viel am Gesamtbild.

Nur einige Beobachtungen innerhalb des Black-Scholes-Rahmens:

• Amerikanische Calls haben den gleichen Preis wie europäische Calls auf nicht ausschüttende Vermögenswerte.
• Die Black-Scholes- Formel gilt nur für europäische Optionen (und damit für amerikanische Calls auf nicht ausschüttbare Vermögenswerte).
• Durch die Call-Put-Parität haben Sie, wenn Sie europäische Call-Preise für einige Verfallsdaten und Ausübungspreise haben, auch die europäischen Put-Preise für diese Verfallsdaten und Ausübungspreise.
• Wenn Sie europäische Call-Preise für ein bestimmtes Verfallsdatum T für alle Strikes haben, können Sie leicht den Preis jeder "europäischen" Auszahlung für diesen Verfall berechnen (z. B. ein digitaler Call V = 1_{S>K} oder eine Parabel V = S^2, oder was auch immer). Konzeptionell bilden Sie Butterfly-Spreads __/\_ für eine Reihe zunehmender Strikes, und sie geben Ihnen die „risikoneutrale“ Wahrscheinlichkeit, dass Sie dort landen, und dann integrieren Sie einfach über Ihre Auszahlung.

Als nächstes können Sie jetzt das Black-Scholes-Framework (Aktienkurs ist eine geometrische Brownsche Bewegung, keine Transaktionskosten, einheitlicher Zinssatz usw. usw.) und numerische Methoden (wie ein PDE-Solver) verwenden, um Optionen im amerikanischen Stil numerisch zu bewerten. aber nicht mit einer einfachen Formel in geschlossener Form (obwohl es Annäherungen in geschlossener Form gibt).

Eine kleine Tangente. Man kann behaupten, dass der S&P eine mittlere Rendite von sagen wir 10 % und eine Standardabweichung von sagen wir 14 % oder so hat, aber wenn man damit rechnet, stellt man fest, dass die tatsächlichen Renditen nicht so gut zur Standard-Glockenkurve passen. Marktanomalien, die die „100-Jahres-Flut“ weit häufiger als vorhergesagt über einen Zeitraum von 20 Jahren hervorrufen. Das bedeutet nur, dass das Modell an den Enden nicht die Realität widerspiegelt, auch wenn die +/- 2 Standardabweichungen hübsch aussehen.

Das gilt auch für die Black-Sholes (ich habe sie fast auf Initialen gekürzt, dann besser gedacht, ich mag das Modell eigentlich) genauso. Der Unterschied zwischen amerikanisch und europäisch ist gering genug, dass die Genauigkeit des Modells größer ist als der Unterschied zwischen diesen beiden Optionsstilen. Ich glaube, wenn Sie sich das Modell und die tatsächlichen Preise ansehen, können Sie die Volatilität einer bestimmten Aktie bestimmen, indem Sie Preise um den Ausübungspreis herum verwenden, aber wenn Sie dann die gut aus Geld-Optionen modellieren, stellen Sie oft fest, dass der Markt seine eigene Bewertung erstellt .

Ja, Ihr Verständnis ist richtig. Genau genommen wird das Black-Scholes-Modell verwendet, um europäische Optionen zu bewerten. Die Auszahlung (der Preis) europäischer und amerikanischer Optionen liegt jedoch nahe genug beieinander und kann als Näherungswert verwendet werden, wenn keine Dividenden auf den Basiswert gezahlt werden und die Liquiditätskosten nahe Null liegen (z. B. in einem sehr niedrigen Zinsszenario).

Derzeit gibt es keine geschlossenen Methoden zur Preisbildung für amerikanische Optionen. Zumindest keine, die ich kenne. Sie sollten sich auf Gitter für Binomialpreise mit mehreren Perioden verlassen , die meistens rekursiv sind.

Da die frühzeitige Ausübung der amerikanischen Call-Option keinen Vorteil bringt, können wir die Black-Schole-Formel verwenden, um die Option zu bewerten. Es ist jedoch wahrscheinlicher, dass die amerikanische Put-Option frühzeitig ausgeübt wird, was bedeutet, dass Black Schole für diese Art von Option nicht gilt