Wie funktioniert die Idee eines Differentials dxdx\text{d}x, wenn Ableitungen keine Brüche sind?

Eine Möglichkeit, sie zu betrachten, ist als Eins-Formen. Siehe Hilfe zum Verständnis des Ausdrucks für die Ableitung einer Funktion für die Situation mit mehreren Variablen. Die Idee ist, dass (in einer einzigen Variablen) eine differenzierbare Funktion gegeben ist$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, und ein Punkt$a\in\Bbb{R}$, Die Quantität$f'(a)\in\Bbb{R}$ist das, was wir uns geometrisch als Steigung am Punkt vorstellen$(a,f(a))$des Diagramms von$f$(eigentlich sollte dies logischerweise eine Definition für den Begriff "Steigung an einem Punkt" sein).

Nun, was ich Ihnen vorschlage, ist, anstatt an die einzelne Zahl zu denken$f'(a)$, betrachten wir die lineare Transformation$L_{f,a}:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$definiert als

$$\begin{align} L_{f,a}(h):=f'(a)\cdot h \end{align}$$ Welche Bedeutung hat diese lineare Transformation? Durch Umschreiben der Definition der Ableitung$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$, wir bekommen $$\begin{align} f(a+h)-f(a)&=L_{f,a}(h)+R_a(h) \end{align}$$ Wo$R_a(h)$ist der "Rest"-Begriff, der "klein" in dem Sinne ist, dass$\lim\limits_{h\to 0}\frac{R_a(h)}{h}=0$. Nun fordert die traditionelle Notation, dass die LHS als bezeichnet wird$\Delta f_a(h)$Und$L_{f,a}$bezeichnet werden als$Df_a(h)$oder$df_a(h)$. Daher erhalten wir die sehr einprägsame Gleichung $$\begin{align} \Delta f_a(h)&=df_a(h)+R_a(h) \end{align}$$ "tatsächliche Änderung der Funktion an einem Punkt gleich einem linearen Term plus einem kleinen Fehlerterm". Beachten Sie, dass dies nichts anderes als eine einfache algebraische Umschreibung der Definition einer Ableitung ist, aber sehr mächtig ist, weil dieselbe Idee in höheren Dimensionen verwendet werden kann: Wir verschieben unsere primäre Perspektive von Steigungen zu linearer Annäherung, einfach weil lineare Algebra es ist ein sehr gut untersuchtes und leistungsfähiges Werkzeug, um all diese Informationen systematisch zu organisieren (in einer Dimension ist lineare Algebra fast trivial, weshalb wir diese Perspektive nicht betonen).

Nun also zu einer differenzierbaren Funktion$f:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, anstatt die Ableitung zu betrachten$f':\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, betrachten wir stattdessen das Objekt$df$, die für jeden Punkt$a\in\Bbb{R}$ergibt eine lineare Transformation$df_a:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$, wobei die Interpretation die für einen "Verschiebungsvektor vom Punkt ist$a$"$h\in\Bbb{R}$,$df_a(h)$ist die lineare Näherung des tatsächlichen Fehlers$\Delta f_a(h)$.

Das ist alles, was zur Definition von gehört$df$; es ist nur eine einfache Neuinterpretation der Funktion$f'$. Als nächstes, was bedeutet$dx$bedeuten? Nun, jetzt verstehen wir das$d$wirkt auf differenzierbare Funktionen, also was Funktion ist$x$? Nun, es ist Tradition, es zu verwenden$x:\Bbb{R}\to\Bbb{R}$die Identitätsfunktion bedeuten, dh für jeden Punkt$a\in\Bbb{R}$, legen wir fest$x(a):=\text{id}_{\Bbb{R}}(a):=a$. Das lässt sich nun leicht nachweisen$dx_a=\text{id}_{\Bbb{R}}$(Alles, was dies sagt, ist das$x'(a)=1$für alle$a$). Deshalb,

$$\begin{align} df_a(h)&=f'(a)\cdot h=f'(a)\cdot dx_a(h)= (f'dx)_a(h) \end{align}$$ Aus diesem Grund schreiben wir die Verschiebung nicht$h$nirgendwo, noch der Punkt der Bewertung der Ableitung$a$, landen wir bei$df=f'\,dx$, wo jetzt beide Seiten eine richtige Definition haben.

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Notiz:

Da wir uns in dieser Antwort nur mit Funktionen befassen, die in Vektorräumen definiert sind, wie z$\Bbb{R}$(oder in meiner anderen verlinkten Antwort,$\Bbb{R}^n$), habe ich eine sorgfältige Unterscheidung zwischen dem Vektorraum und seinem Tangentenraum an einem Punkt vermieden. Aber hoffentlich, mit dieser Einführung, zukünftige Begegnungen mit$df_a$am Tangentialraum bei definiert wird$a$würde nicht so zufällig erscheinen.

Nun, wir behandeln nicht wirklich$\frac{dy}{dx}$als Brüche. Jedes Mal, wenn Sie sehen, dass es als Bruch manipuliert wird, erinnern Sie sich einfach daran, dass alles, was Sie tun, tatsächlich ein bewiesenes Theorem ist, das Sie noch nicht kennen. Die Leibniz-Notation wird verwendet, wenn Ableitungen definiert werden, und diese Notation ist so schön angelegt, dass sie in den meisten Fällen wie Brüche behandelt werden können.

Sie wissen zum Beispiel

$$\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{dy}{dt}$$ Hier haben Sie nicht einfach abgesagt$dt$. Wenn Sie dies als Übung versuchen, verwenden Sie einfach die Grenzwertdefinition einer Ableitung und lösen Sie sie auf, Sie werden sehen, dass dies in der Art und Weise, wie Ableitungen definiert werden, tatsächlich wahr ist und sie dafür keine Brüche sein müssen.

Hier ist die Limitdefinition von Derivaten.

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x}$$

Nun, wenn die beiden Variablen$x$Und$y$parametrisch definiert sind und Sie die Rate finden möchten, mit der die Funktion$y$ändert sich hinsichtlich der Funktion$x$, müssen wir uns der Tatsache bewusst sein, dass diese beiden Funktionen von einer Variablen abhängig sind$t$. Wenn Sie nun die Änderungsrate finden möchten, müssen Sie herausfinden, wie sich diese beiden Funktionen ändern$t$. Deshalb wird die Schreibweise geändert in$\frac{dy/dt}{dx/dt}$. Jetzt wird die Grenzdefinition davon,

$$\frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\lim_{\Delta t\to 0} (\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t})}{\lim_{\Delta t \to 0} (\frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t})}$$

Sie würden sehen, dass das geschrieben werden kann als

$$\frac{dy/dt}{dx/dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t})}{(\frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t})}$$

Jetzt die$\Delta t$Terme werden in den jeweiligen Nennern gestrichen und Sie haben übrig,

$$\frac{dy/dt}{dx/dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{x(t + \Delta t) - x(t)}$$

Jetzt behandeln Sie$dy$als$y(t + \Delta t) - y(t)$Und$dx$als$x(t + \Delta t) - x(t)$als Kleingeld rein$y$Und$x$bzw. Deshalb die Notation$dy/dx$. Ebenso wie$\Delta t \to 0$ist definiert als$dt$. Dies ist völlig zutreffend. Versuchen Sie, es für andere Theoreme zu beweisen, aber seien Sie vorsichtig$dx/dy = \frac{1}{dy/dx}$um wahr zu sein, sollte die Funktion auch invertierbar sein.

Eine Intuition zu haben, dass sie wie Brüche funktionieren, hilft, aber Sie müssen sich dessen bewusst sein$\frac{d}{dx}$ist ein Operator.