Verwendung von Differentialen in der Physik [Duplikat]

Es ist eine Abkürzung für

$$\frac{dU}{dp}=\frac{dQ}{dp}+\frac{dW}{dp}$$ für alle Auswahlmöglichkeiten eines Parameters$p$die die Entwicklung des Systems verfolgt. Der Spezialfall wo$p$ist die verstrichene Zeit entspricht dem allgemeinen Fall der Kettenregel.

Das war etwas zu lang, um es in einen Kommentar einzufügen, also schreibe ich es hier als Antwort.

Hier ist eine Antwort, die ich auf MSE geschrieben habe. Wie funktioniert die Idee eines differentiellen dx, wenn Ableitungen keine Brüche sind? . Dort erkläre ich die Idee, sie als 1-Formen zu interpretieren (das ist nur ausgefallenes Vokabular für eine einfache Idee).

Wenn Sie sehen möchten, wie einige dieser grundlegenden differentiellen geometrischen Ideen in der Physik verwendet werden, empfehle ich Ihnen dringend, Bamberg und Sternbergs A Course of Mathematics for Students of Physics zu lesen, was ein sehr lesenswerter Text ist. Schauen Sie sich beide Bände 1 und 2 an (es gibt Sachen über Elektrostatik, Magnetostatik, Optik, Maxwell-Gleichungen). Die Thermodynamik wird speziell in Kapitel 22 (dem letzten Kapitel in Band 2) behandelt und folgt dem geometrischen Ansatz von Caratheodory. Um dies zu verstehen, müssen Sie nicht jedes einzelne Kapitel vorher lesen; Sie müssen nur Kapitel 5 (Grundlegende Differentialrechnung in mehreren Variablen) lesen und gelegentlich benötigen Sie das Material von Kapitel 15 (über äußere Ableitungen und geschlossene und exakte Formen). In dieser Sprache sagt das erste Gesetz, dass, wenn wir die Arbeit 1-Form nehmen$\omega$und die "Hitze"$1$-form$\alpha$, dann ihre Summe$\alpha+\omega$geschlossen ist (bzw$d(\alpha+\omega)=0$) und kann daher lokal geschrieben werden als$dU=\alpha+\omega$für eine reibungslose Funktion$U$.

Also ist es nicht$\omega$noch$\alpha$allein, was geschlossen ist, sondern ihre Summen. Um diese Behauptung widerzuspiegeln, schreibt die klassische Schreibweise sie typischerweise als$\delta Q$oder$\delta W$, oder auch$dQ, dW$mit einer kleinen Linie überquert$d$(Ich bin mir nicht sicher, wie ich das in Mathjax schreiben soll). Ein weiteres (fortgeschritteneres) Buch, das den äußeren Kalkül entwickelt und seine Anwendungen in der Physik zeigt, ist Applied Exterior Calculus von Dominic GB Edelen .

Die Thermodynamik beschäftigt sich mit reellen mathematischen Differentialen für die thermodynamischen Zustandsfunktionen . Zustandsfunktionen sind reelle Funktionen mehrerer Variablen, und verschiedene Zustandsfunktionen stehen über die Legendre-Transformation in Beziehung ( siehe für ihre Anwendung in der Thermodynamik ).

Als Beispiel kann die innere Energie geschrieben werden als

$$dU = TdS - PdV + \sum_i\mu_idN_i,$$ und die Interpretation der Koeffizienten in der differentiellen Entwicklung als partielle Ableitungen ermöglicht es, die Maxwell-Beziehungen zu erhalten , die mathematisch nichts durch den Ausdruck der Existenz des totalen Differentials sind).

Der letzte Term in der obigen Gleichung zeigt jedoch bereits, dass sich Physiker bei der mathematischen Schreibweise eher Freiheiten nehmen, as$N_i$im letzten Term ist die Anzahl der Teilchen, also eine diskrete Variable. Das wird auch oft betont$dQ$Und$dW$sind keine echten Differentiale, da sie von dem Weg abhängen, den man zwischen den beiden Punkten wählt, und nur ihre Summe nicht mehrdeutig ist - genauso wie es in der Mathematik der Fall ist. Wie @JG jedoch betont hat, ist der Pfad normalerweise impliziert und$Q,W$können als Funktionen eines Parameters entlang dieses Pfades gedacht werden. Einige Bücher verwenden in diesem Fall speziell Symbole mit Kreuz$d:$ đQ, đW.

Ich könnte mich irren, aber der erste Beginn der Thermodynamik im allgemeinen Fall drückt sich nicht in vollständigen Differentialen aus. Wie oben richtig bemerkt (@Roger Vadim), führen sogar viele Autoren ausdrücklich andere Bezeichnungen für diese Werte ein. Beide Ausdrücke (und$dU$Und$\delta Q$) sind physikalisch infinitesimale Inkremente, aber letzteres ist kein Differential. Wenn Sie sich an die Newton-Leibniz-Formel erinnern

$$\int\limits_{a}^{b}{dF} = F(b) - F(a),$$ dann hängt das Integral (andernfalls: die algebraische Summe über die gesamte "Trajektorie" der Summation) nur vom Anfangs- und Endzustand des Systems ab und nicht davon, wie das System vom Zustand (a) zum Zustand (b) gelangt ist. . Gleichzeitig gibt es Größen, die eindeutig von der Form der Bewegungsbahn von (a) nach (b) abhängen.

Insofern sollte die Antwort auf Ihre Frage ungefähr so ​​lauten. Einige physikalische Funktionen sind totale Differentiale im Sinne von physikalisch infinitesimalen Größen. "Physisch" bedeutet in diesem Fall, dass die inkrementelle Größe selbst viel kleiner ist als eine Referenzdimension, wie z. B. die Größe eines Systems oder ein mögliches Messquantum eines Instruments. Erst wenn die Grundannahmen getroffen sind, können die entsprechenden Eigenschaften genutzt werden, und dann sollte man immer die Bedeutung dieses oder jenes Werts im Auge behalten, wie z. B. die gleiche elementare Arbeit:$\delta W = \int\limits_{a}^{b}{\left( \vec{F} \cdot d\vec{r} \right)}$.

Eine Ableitung kann als Verhältnis zwischen Differentialen betrachtet werden. Zum Beispiel,$\frac {dy}{dx}=2$kann als Sprichwort interpretiert werden$dy =2dx$. Die gleichung$dU=dQ+dW$ist nur eine Version einer solchen Gleichung mit drei Termen. Wenn Sie möchten, können Sie beide Seiten durch teilen$dU$zu bekommen$1 = \frac{dQ}{dU}+\frac{dW}{dU}$. Und nach der Kettenregel können Sie durch jedes Differential dividieren; wie JG sagte, es ist gleichbedeutend mit$\frac{dU}{dp}=\frac{dQ}{dp}+\frac{dW}{dp}$für jeden Parameter$p$.

Zu sagen, dass zwei Ausdrücke von Infinitesimalen gleich sind, kann als Behauptung angesehen werden, dass sie "in der Grenze" gleich sind. Streng gesagt, können wir sagen$\Delta U = \Delta Q+\Delta W+\epsilon$Wo$\lim_{\Delta U \rightarrow 0}\frac {\Delta \epsilon}{\Delta U}=0$(Da die Beziehung zwischen den Begriffen natürlich konstant ist, stellt sich heraus, dass$\epsilon$ist identisch Null).

Genau genommen ist es wahrscheinlich falsch, Ihre obige Gleichung so zu schreiben, wie Sie es getan haben, da ein Differential in einer Variablen auf eine andere unabhängige Variable bezogen werden muss.

Aber die meisten wissen, was damit gemeint ist, also die entsprechende Gleichung in Inkrementen geschrieben:

ΔU = ΔQ + ΔW

So geschrieben, können wir die Gleichung mit anderen Variablen manipulieren und in die Differentialform umwandeln, indem wir sie durch ein weiteres Inkrement dividieren und eine „gegen Null tendierende“ Grenze anwenden.