Erweiterte Supersymmetrie und chirale Eichtheorien

Ich versuche, das Argument zu verstehen, dass die erweiterte Supersymmetrie nicht die chirale Struktur des Standardmodells erzeugen kann, wie auf Seite 25 dieser Notizen erklärt . Mein Eindruck von der Argumentation geht so:

  • Alle Teilchen in einem Supermultiplet müssen sich unter internen Symmetrien auf die gleiche Weise transformieren.
  • Alle masselosen Teilchen mit Helizität | λ | = 1 müssen durch Eichfelder erzeugt werden, da die Eichsymmetrie die einzige Möglichkeit ist, die zusätzlichen Freiheitsgrade loszuwerden.
  • Eichfelder müssen sich unter der adjungierten Darstellung jeder Eichgruppe transformieren, und für alle Matrix-Lie-Gruppen ist die adjungierte Darstellung reell.
  • Im erweiterten SUSY sind mit einer Ausnahme alle Multipletts enthaltend | λ | = 1 / 2 auch enthalten | λ | = 1 . Daher können wir Fermionen nur in realen Darstellungen einer beliebigen Eichgruppe erhalten.
  • Dies ist mit der chiralen Struktur des Standardmodells unvereinbar, das erfordert, dass Fermionen in komplexen Darstellungen leben, wie beispielsweise linkshändige Quarks, die in der Dublett-Darstellung von sind S U ( 2 ) L .

Vorausgesetzt, ich habe das Argument richtig umschrieben, bin ich mit jedem Schritt einverstanden, außer mit dem letzten Schritt, der mir einfach nicht richtig erscheint.

Hier sind die Vorüberlegungen, die ich dazu hatte:

  • Es ist zweideutig, ob es sich um Darstellungen von Feldern oder um Darstellungen von Teilchen handelt. Diese sind unterschiedlich, aber ich konnte das Argument so oder so nicht zum Laufen bringen.
  • Es ist mehrdeutig, ob "komplex" bedeutet Komplex 1 , dh das Basisfeld sind die komplexen Zahlen, oder Komplex 2 , dh die Darstellung ist Komplex 1 und nicht äquivalent zu seinem Konjugat. Ich denke, die einzig sinnvolle Option ist Komplex 2 .
  • Die Dublettdarstellung von S U ( 2 ) L ist nicht Komplex 2 ! Es gibt nur eine zweidimensionale Darstellung von S U ( 2 ) L also muss es notwendigerweise seinem Konjugat entsprechen.
  • In dieser Antwort wird argumentiert, dass wenn Q L verwandelt sich in eine Repräsentation R , Dann Q R transformiert in die konjugierte Darstellung R ¯ . Also wenn R ist echt, Q L Und Q R auf die gleiche Weise transformieren, was der Beobachtung widerspricht. Aber das scheint eindeutig falsch zu sein, es ist nicht wahr Q L Und Q R im Standardmodell!
Kleiner Kommentar zum Beitrag (v2): Bitte denken Sie daran, Autor, Titel etc. des Links explizit anzugeben, damit der Link im Falle einer Linkfäule rekonstruiert werden kann.
Könnten Sie mit "interner Symmetrie" angeben, dass Sie einen Austausch mit der erweiterten SUSY-Algebra meinen, dessen globale bosonische Symmetrien Sie hier ignorieren ...
Notiere dass der S U ( 2 ) Dublett ist pseudoreell (quaternionisch), nicht reell.
@RyanThorngren Ja, aber ich denke, die übliche Verwendung von "komplex" ist "nicht real oder pseudoreal".
@CosmasZachos Ja, das meine ich hier!

Antworten (1)

  1. Sie müssen über die Darstellungen der Felder sprechen , da die Teilchen Quantenzustände sind, die immer im unendlichdimensionalen komplexen Hilbert-Raum mit entsprechenden einheitlichen Darstellungen darauf leben.

  2. Lassen Sie uns klarstellen, was wir wirklich mit "Chiralität" des Standardmodells meinen. Gegeben sei ein Dirac-Fermion ψ mit seinen chiralen Teilen/Weyl-Fermionen ψ L , ψ R , das bedeutet Chiralität ψ L wandelt sich unter eine andere Darstellung mindestens einer Eichgruppe (der schwachen im Fall des SM) um als ψ R . Wie genau dies in unsere gewöhnliche natürliche Sprache von links- / rechtshändigen Elektronen und Positronen übersetzt wird, finden Sie in dieser Antwort von mir auf eine frühere Frage von Ihnen.

  3. Die Bedeutung von "komplex" ist hier "nicht real", nicht "komplex" wie in "nicht real oder pseudoreal". Den Unterschied zwischen real, pseudoreal und komplex finden Sie in dieser Antwort von mir auf eine andere vorherige Frage von Ihnen.

  4. Wenn wir sagen, dass "ein Weyl-Spinor" ψ R / L Transformationen in der Darstellung ρ einer Eichgruppe, was wir eigentlich formal sagen müssten, dass sich das Objekt in der kombinierten Darstellung transformiert ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ Wo ( 1 / 2 , 0 ) ist die übliche Notation für die Weyl-Spinordarstellung der Lorentz-Gruppe.

  5. Schließlich sind wir in der Lage, Folgendes zu beobachten: Bei einem masselosen Multiplett mit einem Weyl-Fermion beliebiger Händigkeit darin und einer reellen Darstellung der Eichgruppe können wir das Ergebnis des Tensorprodukts aufteilen, da wir die reelle Darstellung aufteilen können ρ in zwei Darstellungen auf reellen Vektorräumen als ρ R + J ρ R , Wo J ist im Grunde eine komplexe Konjugationskarte:

    ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ = ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ R ) ⊕ ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ J ρ R )

Es bleibt nur noch, das zu beobachten ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ J ρ R ist äquivalent zu J ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ρ R , und das J ( 1 / 2 , 0 ) = ( 0 , 1 / 2 ) - die konjugierte Darstellung eines linkshändigen Weyl-Fermions ist ein rechtshändiges Weyl-Fermion. Wählen Sie daher eine echte Darstellung ρ der Eichgruppe für ein Weyl-Fermion führt tatsächlich zur Transformation des Weyl-Fermions ρ R und seine Version mit entgegengesetzter Chiralität wandelt sich ebenfalls um ρ R , was erklärt, warum reelle Darstellungen niemals zu chiralsymmetrischen Theorien führen können.

Beachten Sie auch, dass dieses Argument für eine pseudoreale Darstellung versagt , was auch den scheinbaren Widerspruch mit dem Dublett von auflöst S U ( 2 ) L "nicht komplex" sein.

Ich stimme allem zu, was Sie in den ersten paar Punkten gesagt haben. Im Laufe der Jahre habe ich mehrere Fragen zu Ladungskonjugation, Chiralität und Helizität gestellt, und ich muss Ihnen dafür danken, dass Sie mir geduldig die wesentlichen Punkte beigebracht haben. (Ich glaube, ich habe endlich ein vollständiges Verständnis, das hier geschrieben steht .)
Ich denke jedoch, dass wir mit unterschiedlichen Definitionen dessen arbeiten, was eine "chirale Eichtheorie" ist. Ich stimme Ihrer Argumentation angesichts Ihrer Definition zu, aber betrachten Sie die Teilchen in einer Theorie mit nur einem linkschiralen Weyl-Feld, das sich in ein umwandelt S U ( 2 ) Wams. Wir haben vier, entsprechend der Helizität ± 1 / 2 , Und " ICH 3 " Wert ± 1 / 2 . Unter dem Ladungskonjugationsoperator ist alles perfekt symmetrisch C ^ , ebenso gut wie P ^ . Ich würde erwarten, dass es keine "chirale Eichtheorie" gibt C ^ Und P ^ symmetrisch.
Zusammenfassend denke ich, dass Sie eine chirale Eichtheorie so definieren, dass eine nicht-chirale Eichtheorie eine Theorie ist, bei der Sie links-chirale und rechts-chirale Weyl-Spinoren in realen Darstellungen paaren können. Aber ich definiere stattdessen eine chirale Eichtheorie als eine Theorie, die verletzt C ^ Und P ^ ; dann kann eine pseudoreale Darstellung nicht chiral sein. Aufsätze dazu scheinen nur zu sagen, dass eine Theorie der chiralen Eichungen eine komplexe Darstellung hat, aber wir wissen bereits, dass dieses Wort mehrdeutig ist. Haben Sie hier eine eindeutige Referenz?
@knzhou: FWIW, Wikipedias Definition stimmt mit meiner überein. Ich werde sehen, ob ich bessere Referenzen finden kann, aber es kann eine Weile dauern.
Keine Sorge, es ist nur ein semantisches Problem! In jedem Fall ist die vollständige SM-Fermion-Darstellung nicht pseudoreal, daher funktioniert dort jede Definition gut.
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