EDIT4 : Ich glaube, ich konnte jetzt herausfinden, woher dieses Dogma ursprünglich stammt. Howard Georgi schrieb in TOWARDS A GRAND UNIFIED THEORY OF AROMA
Es gibt einen tieferen Grund dafür, dass die Fermion-Darstellung in Bezug auf SU(3) × SU(2) × U(1) komplex sein muss. Ich gehe davon aus, dass die große vereinheitlichende Symmetrie auf einer Impulsskala von bis zu SU(3) × SU(2) × U(1) gebrochen ist GeV. Ich würde daher erwarten, dass jede Teilmenge der LH-Fermion-Darstellung, die in Bezug auf SU (3) X SU (2) XU (1) real ist, eine Masse in der Größenordnung von erhält GeV aus den Wechselwirkungen, die den spontanen Zusammenbruch verursachen. Betrachten Sie als triviales Beispiel dafür eine SU(5)-Theorie, in der die LH-Fermionen eine 10, eine 5 und eine Zwei sind 's. In dieser Theorie wird es SU(3) × SU(2) XU(1) unveränderliche Massenterme geben, die die 5 mit einer linearen Kombination der beiden verbinden -'s. Diese zehn (chiralen) Zustände entsprechen daher 5 Vierkomponenten-Fermionen mit Massen der Ordnung 10 als GeV. Die 10 und die orthogonale Linearkombination der beiden 5- werden als Teilchen mit gewöhnlicher Masse übrig bleiben, weil sie chirales SU(2) XU(1) tragen.
Leider kann ich dieses Argument nicht mathematisch formulieren. Wie genau funktioniert der neue, unveränderliche Massenterm, der die kombiniert und die aussehen?
EDIT3: Meine aktuellen Erfahrungen mit diesem Thema sind in Kapitel 5.1 dieser Arbeit zusammengefasst :
Darüber hinaus sollte die Gruppe komplexe Darstellungen haben, die notwendig sind, um die komplexe SU(3)-Triplett- und die komplexe Dublett-Fermion-Darstellung aufzunehmen. [...] die nächsten fünf haben keine komplexen Darstellungen und scheiden daher als Kandidaten für die GUT-Gruppe aus. [...] Es sollte darauf hingewiesen werden, dass es möglich ist, GUTs mit Fermionen in der reellen Darstellung zu konstruieren, vorausgesetzt, wir erlauben zusätzliche Spiegel-Fermionen in der Theorie.
Was? Gruppen ohne komplexe Darstellungen sind ausgeschlossen . Und ein paar Sätze später scheint mit solchen Gruppen alles in Ordnung zu sein, solange wir einige zusätzliche Teilchen, sogenannte Spiegelfermionen, zulassen.
In fast allen Dokumenten über GUTs wird behauptet, dass wir komplexe Darstellungen (=chirale Darstellungen) benötigen, um das Standardmodell reproduzieren zu können. Leider scheint fast jeder einen anderen Grund dafür zu haben und keiner scheint mir völlig zufriedenstellend zu sein. Zum Beispiel :
Witten sagt:
Von den fünf außergewöhnlichen Lie-Gruppen haben vier ( G 2 , F 4 , E 7 und E 8 ) nur reale oder pseudoreale Darstellungen. Ein vierdimensionales GUT-Modell, das auf einer solchen Gruppe basiert, gibt nicht die beobachtete chirale Struktur schwacher Wechselwirkungen wieder. Die einzige außergewöhnliche Gruppe, die komplexe oder chirale Darstellungen hat, ist E6
Dieser Autor schreibt:
Da sie keine komplexen Darstellungen haben. Dass wir komplexe Darstellungen für Fermionen haben müssen, weil im SM die Fermionen nicht äquivalent zu ihren komplexen Konjugaten sind.
Ein anderer Autor schreibt:
Zweitens müssen die Darstellungen die korrekte Wiedergabe des Teilchengehalts des beobachteten Fermionenspektrums zumindest für eine Generation von Fermionen ermöglichen. Diese Anforderung impliziert, dass G gut sowohl komplexe Repräsentationen besitzen als auch frei von Anomalien sein muss, um die Renormierbarkeit der Grand Unified Theory nicht durch eine Inkompatibilität von Regularisierung und Eichinvarianz zu beeinträchtigen. Die Forderung nach komplexen Fermionendarstellungen beruht darauf, dass die Einbettung der bekannten Fermionen in reale Darstellungen zu Schwierigkeiten führt: Spiegelfermionen müssen hinzugefügt werden, die sehr schwer sein müssen. Aber dann würden die konventionellen Fermionen im Allgemeinen Massen der Ordnung M gut bekommen. Daher sollten alle leichten Fermionen Bestandteile einer komplexen Darstellung von G gut sein.
Und Lubos hat eine Antwort , die für mich keinen Sinn ergibt:
Allerdings gibt es hier eine entscheidende Bedingung. Die Gruppen müssen komplexe Darstellungen zulassen – Darstellungen, in denen die generischen Elemente der Gruppe nicht als echte Matrizen geschrieben werden können. Wieso den? Das liegt daran, dass die 2-Komponenten-Spinoren der Lorentz-Gruppe ebenfalls eine komplexe Darstellung sind. Wenn wir es mit einer reellen Darstellung der Yang-Mills-Gruppe tensormultiplizieren, würden wir immer noch eine komplexe Darstellung erhalten, aber die Anzahl ihrer Komponenten würde sich verdoppeln. Aufgrund des reellen Faktors würden solche Multipletts immer automatisch die linkshändigen und rechtshändigen Fermionen mit denselben Yang-Mills-Ladungen enthalten!
Also ... was ist das Problem mit echten Repräsentationen? Unbeobachtete Spiegelfermionen? Der Unterschied von Teilchen und Antiteilchen? Oder die chirale Struktur des Standardmodells?
BEARBEITEN:
Ich habe gerade erfahren, dass es ernsthafte GUT-Modelle gibt, die Gruppen verwenden, die keine komplexen Repräsentationen haben. Zum Beispiel erwähnt dieser Bericht von Langacker mehrere Modelle, die auf basieren . Das verwirrt mich noch mehr. Einerseits scheinen sich fast alle einig zu sein, dass wir komplexe Repräsentationen brauchen und andererseits gibt es Modelle, die mit realen Repräsentationen arbeiten. Wenn es einen wirklich guten Grund gibt, warum wir komplexe Repräsentationen brauchen, würde ein Experte wie Langacker Modelle, die mit einer realen Repräsentation beginnen, nicht als Unsinn ansehen?
EDIT2:
Hier präsentiert Stech ein weiteres Argument
Auch die Gruppen E7 und E8 führen zu vektorähnlichen Modellen mit . Der mathematische Grund ist, dass diese Gruppen wie G und F4 nur reelle (pseudoreale) Repräsentationen haben. Die einzige Ausnahmegruppe mit komplexen... [...] Da E7 und Es, wie oben erwähnt, zu vektorähnlichen Theorien führen, muss mindestens die Hälfte der entsprechenden Zustände entfernt oder durch Unbekannte zu sehr hohen Energien verschoben werden Mechanismus
Die Ladungskonjugation ist extrem schlüpfrig, weil es zwei verschiedene Versionen davon gibt; Es gab viele Fragen auf dieser Seite, die sie durcheinander gebracht haben ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), einige habe ich vor ein paar Jahren gestellt. Insbesondere gibt es in den obigen Kommentaren ein paar Argumente, bei denen genau aus diesem Grund aneinander vorbei geredet wird.
Ich glaube, die aktuelle Antwort fällt in eines der häufigsten Missverständnisse. Ich werde ein möglichst explizites Beispiel geben und versuchen, einen "Rosetta-Stein" für Fragen zu Chiralität, Helizität und zu machen . Andere diskrete Symmetrien werden hier angesprochen .
Betrachten wir der Einfachheit halber die Hyperladung im Standardmodell und betrachten nur das Neutrino, von dem wir annehmen, dass es einen sterilen Partner hat. Für einen gegebenen Impuls gibt es vier Neutrinozustände:
Es gibt zwei Neutrinofelder:
Die Raum-Zeit-Symmetrien sind komplizierter, weil Teilchen sich unter der Poincare-Gruppe umwandeln und daher Helizität haben, während sich Felder unter der Lorentz-Gruppe umwandeln und daher Chiralität haben. Im Allgemeinen vernichtet ein quantisiertes rechtschirales Feld ein Teilchen mit positiver Helizität. Manchmal werden die beiden Begriffe "rechtschiral" und "positive Helizität" beide als "rechtshändig" bezeichnet, sodass ein rechtshändiges Feld ein rechtshändiges Teilchen vernichtet. Ich werde diese Terminologie vermeiden, um Chiralität und Helizität nicht zu verwechseln.
Beachten Sie, dass sich sowohl die Partikelzustände als auch die Felder in Darstellungen von transformieren . Es gibt also zwei unterschiedliche Begriffe der Ladungskonjugation, einen, der auf Teilchen wirkt, und einen, der auf Felder wirkt. Auf Teilchen wirkt ein Ladungskonjugationsoperator befriedigend
Wenn wir den sterilen Partner nicht hätten, hätten wir außerdem nur die Freiheitsgrade, die durch den geschaffen oder zerstört werden Feld, und es gäbe keine Möglichkeit der Definition im Einklang mit der obigen Definition. Mit anderen Worten, die Teilchenladungskonjugation ist nicht immer definiert , obwohl sie es mit dem sterilen Partner ist.
Es gibt einen anderen Begriff der Ladungskonjugation, der auf klassischen Feldern einfach eine komplexe Konjugation ist, . Durch die Definition einer konjugierten Darstellung konjugiert diese alle Darstellungen, unter die das Feld transformiert, dh es kippt zu und dreht die Chiralität um. Dies ist wahr, ob die Theorie ist -symmetrisch oder nicht. Der Einfachheit halber definieren wir normalerweise
Das bedeutet in jedem Fall ist rechtschiral und hat eine Hyperladung , Also
(Der Vollständigkeit halber bemerken wir, dass es auch eine dritte mögliche Definition der Ladungskonjugation gibt: Sie könnten die Teilchenladungskonjugation oben modifizieren und die zusätzliche Forderung auferlegen, dass alle internen Quantenzahlen umgedreht werden. Tatsächlich beginnen viele Kurse zur Quantenfeldtheorie mit einer Definition wie Dies. Aber diese strenge Definition der Teilchenladungskonjugation bedeutet, dass sie nicht einmal mit einem sterilen Neutrino definiert werden kann , was bedeutet, dass der Rest der folgenden Diskussion strittig ist. Dies ist ein häufiges Problem mit Symmetrien: Oft können die intuitiven Eigenschaften, die Sie wollen, einfach nicht gleichzeitig zufrieden sein. Sie haben die Wahl, entweder einfach die Definition der Symmetrie aufzugeben oder einige der Eigenschaften aufzugeben.)
Die vorhandene Antwort hat diese beiden Begriffe der Ladungskonjugation verwechselt, da davon ausgegangen wird, dass die Ladungskonjugation neue Teilchen ergibt (gilt nur für die Teilchenladungskonjugation), während alle Quantenzahlen umgekehrt werden (gilt nur für die Feldladungskonjugation). Wenn Sie konsequent das eine oder andere verwenden, funktioniert das Argument nicht.
Ein verwirrender Punkt ist, dass das Teilchen Operator ordnet einfach Teilchen Antiteilchen zu. Wenn Sie denken, dass Antimaterie dadurch definiert ist, dass sie die entgegengesetzten (internen) Quantenzahlen zu Materie hat, dann muss diese Quantenzahlen umkehren. Diese naive Definition funktioniert jedoch nur für -symmetrische Theorien, und wir haben es ausdrücklich mit Theorien zu tun, die es nicht sind -symmetrisch.
Eine Möglichkeit, über den Unterschied nachzudenken, besteht darin, dass allein in Bezug auf den Darstellungsinhalt und für a -symmetrische Theorie ist die Teilchenladungskonjugation dieselbe wie die Feldladungskonjugation, gefolgt von einer Paritätstransformation . Dies führt zu vielen Streitigkeiten, bei denen die Leute sagen: „Nein, dein enthält eine zusätzliche Paritätstransformation!"
Beachten Sie der Vollständigkeit halber, dass man diese beiden Begriffe der Ladungskonjugation in der ersten Quantisierung definieren kann, wobei wir uns das Feld als Wellenfunktion für ein einzelnes Teilchen vorstellen. Dies verursacht viel Verwirrung, weil es die Leute dazu bringt, Teilchen- und Feldbegriffe zu verwechseln, wenn sie konzeptionell stark getrennt werden sollten. Es gibt auch ein verwirrendes Vorzeichenproblem, da einige dieser zuerst quantisierten Lösungen Löchern in der zweiten Quantisierung entsprechen und die meisten Quantenzahlen umkehren (siehe meine Antwort hier für weitere Details). Im Allgemeinen denke ich, dass man überhaupt nicht von der „Chiralität eines Teilchens“ oder der „Helizität eines Felds“ sprechen sollte; das erste quantisierte Bild ist schlimmer als unbrauchbar.
Nun könnte man sich fragen, warum wir zwei verschiedene Begriffe der Ladungskonjugation wollen. Ladungskonjugation an Teilchen verwandelt nur Teilchen in Antiteilchen. Das ist vernünftig, weil wir nicht ändern wollen, was in der Raumzeit vor sich geht; Wir wandeln einfach Teilchen in Antiteilchen um, während wir sie auf die gleiche Weise bewegen.
Andererseits konjugiert die Ladungskonjugation auf Feldern alle Darstellungen, einschließlich der Lorentz-Darstellung. Warum ist das nützlich? Wenn wir mit Feldern arbeiten, wollen wir normalerweise einen Lagrange schreiben, und Lagrange müssen Skalare unter Lorentz-Transformationen sein, Transformationen und absolut alles andere. Daher ist es sinnvoll, alles zu konjugieren, weil wir zB das sicher wissen könnte ein akzeptabler Lagrange-Term sein, solange wir alle impliziten Indizes entsprechend kontrahieren. Dies ist natürlich der Majorana-Massenbegriff.
Lassen Sie mich nun die eigentliche Frage beantworten. Nach dem Coleman-Mandula-Theorem sind interne und raumzeitliche Symmetrien unabhängig. Insbesondere, wenn wir beispielsweise über eine Reihe von Feldern sprechen, die sich als a transformieren in dem GUT, diese Felder müssen alle die gleichen Lorentz-Transformationseigenschaften haben. Daher ist es üblich, alle Materiefelder als linkschirale Weyl-Spinoren zu schreiben. Wie oben erwähnt, ändert dies nichts an den Partikeln, es ist nur eine nützliche Möglichkeit, die Felder zu organisieren.
Daher sollten wir unser GUT mit Feldern wie erstellen und wo
Nehmen wir nun an, dass unsere Materiefelder eine reale Repräsentation bilden der GUT Spurweite Gruppe . Es findet eine spontane Symmetriebrechung statt, wodurch die Eichgruppe auf die des Standardmodells reduziert wird . Daher die Darstellung zersetzt,
Insbesondere für jedes linkschirale Feld mit Hyperladung , gibt es ein weiteres linkschirales Feld mit Hyperladung , was einem rechtschiralen Feld mit Hyperladung entspricht . So kommen links-chirale und rechts-chirale Felder paarweise, mit exakt gleichen Transformationen unter . Entsprechend hat jedes Teilchen einen Partner mit entgegengesetzter Helizität mit der gleichen Transformation unter . Das meinen wir, wenn wir sagen, dass die Theorie nicht chiral ist.
Um dies zu beheben, können wir die Hypothese aufstellen, dass alle unerwünschten "Spiegel-Fermionen" sehr schwer sind. Wie in der anderen Antwort angegeben, gibt es keinen Grund dafür. Wenn dem so wäre, stoßen wir wie beim Higgs auf ein Natürlichkeitsproblem: Da es nichts gibt, was Fermionen von Spiegel-Fermionen unterscheidet, gibt es vom Standpunkt der Symmetrien nichts, was die Materie daran hindert, dieselbe riesige Masse anzunehmen. Dies wird als sehr starker Beweis gegen solche Theorien angesehen; einige sagen, dass aus diesem Grund Theorien mit Spiegelfermionen völlig ausgeschlossen sind. Zum Beispiel die Die in der Presse stark geförderte Theorie hat genau dieses Problem; die Theorie kann nicht chiral sein.
Dies kann erklärt werden, indem man über die Kopplung von Fermionen an die nachdenkt schwaches Eichfeld. Fassen wir zusammen, was wir wissen
Lassen Sie uns nun den Ladungskonjugationsoperator einführen . Betrachten Sie ein linkshändiges Fermionenfeld, das in der Fundamentaldarstellung lebt einer Messgerätegruppe . Dann erzeugt der Ladungskonjugationsoperator ein linkshändiges Anti-Fermion-Feld in der komplex konjugierten Darstellung . Wenn ist dann eine echte Darstellung .
Warum ist das schlimm? Nun, wenn das linkshändige Anti-Fermion in der gleichen Darstellung lebt wie das linkshändige Fermion, dann kann es auf die gleiche Weise an das Eichfeld koppeln. In der Tat muss es nach der Logik der effektiven Feldtheorie funktionieren, es sei denn, Sie erfinden einen komplizierten neuen Mechanismus, der dies verhindert!
Unter Verwendung der CPT-Symmetrie können wir nun unser linkshändiges Anti-Fermion äquivalent als rechtshändiges Fermion betrachten. Aber das bedeutet, dass Sie eine rechtshändige Fermion-Kopplung zum Eichfeld haben, genauso wie Ihre linkshändige ursprünglich. Mit anderen Worten, Ihre Theorie ist nicht chiral.
Gibt es Schlupflöcher? Nun, man könnte die Hypothese aufstellen, dass die rechtshändigen Fermionen, die an das schwache Feld koppeln, einfach noch nicht beobachtet wurden! Das ist die Idee der Spiegelmaterie . Es ist eine notwendige Vorhersage jeder Theorie, die eine Lie-Algebra verwendet, die keine komplexen Darstellungen hat, wie z .
Abschließend denke ich, dass Witten die klarste Erklärung hat, aber sie ist ein wenig knapp! Ich stimme zu, dass einige der obigen Argumente vage sind (wie auch diese Antwort ursprünglich). Stellen Sie bitte weiterhin Fragen in den Kommentaren und hoffentlich können wir eine wirklich zugängliche Erklärung verfeinern!
Der Versuch, eine kurzatmige Antwort zu geben: Das Standardmodell ist chiral, und wir definieren den chiralen Projektionsoperator als
Davon abgesehen ist eine reale Darstellung nicht streng verboten, wenn Sie innovativ genug sind, um einen echten chiralen Projektionsoperator und real zu finden Darstellung.
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